Общая проблема обнаружения вирусов

Согласно тезису Тьюринга-Черча, если бы существовал алгоритм обнаружения вирусов, можно было бы создать Машину Тьюринга, которая бы выполняла этот алгоритм. Покажем, что такой Машины Тьюринга не существует.

Теорема 2.10. Не существует Машины Тьюринга, которая могла бы определять наличие вируса в произвольной программе для машины RASPM с ABS.

Доказательство. Согласно теореме 2.7 вместо Машины Тьюринга можно использовать эквивалентную ей RASPM или RASPM с ABS. Рассмотрим программу P, которая эмулирует работу Машины Тьюринга (произвольной). Программа P печатает на выходе 1, если эмулируемая Машина Тьюринга завершает свою работу.

Построим простой вирус, который сперва запускает программу P на случайном, но фиксированном (для данного вируса) входе B, после чего начинает выполнять собственно вирусную часть. При заражении вирус копирует целиком программу P, последовательность B и вирусную часть.

Используя эту конструкцию можно создать программу V в RASPM с ABS для любой Машины Тьюринга, и эта программа будет вирусом в том случае, если она сможет размножаться, т. е. в том случае, когда Машина Тьюринга завершает свою работу на фиксированном для программы V входе или, что тоже самое, если программа P печатает единицу для данной Машины Тьюринга и данного входа.

Предположим, что существует Машина Тьюринга, способная обнаруживать все вирусы, т. е. такая Машина Тьюринга T, которая читает код программы RASPM с ABS и печатает 1, если в коде этой программы содержится вирус, и печатает 0, если вируса нет. Применим машину T к программе V. Если T печатает 1, значит программа P и соответствующая ей Машина Тьюринга завершают свою работу на некотором входе B. Если T печатает 0, значит программа P и соответствующая ей Машина Тьюринга никогда не завершит свою работу на некотором входе B. Учитывая, что вход B и эмулируемая программой P Машина Тьюринга могут быть любыми, получаем, что Машина Тьюринга T способна для любой Машины Тьюринга и любого входа определить, завершит ли данная Машина Тьюринга работу на данном входе. Однако мы знаем, что это невозможно.

Полученное противоречие доказывает теорему.