Система уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной формах. Электромагнитное поле.
В законе электромагнитной индукции (ЭМИ) ℇ 
= -dФ/dt ЭДС можно представить по определению как циркуляцию поля сторонних сил
ℇ = 
(см. часть 2, лекция №20), в данном случае (ЭМИ) сторонние силы не связаны ни с химическими, ни с тепловыми процессами, они также не могут быть магнитными силами, по тому, что такие силы работу над зарядами не совершают. Остается заключить, что индукционный ток обусловлен возникающим в проводе электрическим полем, тогда ЭДС
|
= 
Магнитный поток по определению Ф = 
. Подставляя в закон ЭМИ получим
(30-4)
Это первое уравнение Максвелла.
Интеграл в правой части берется по произвольной поверхности S, опирающейся на контур ℓ (рис. 30.3).
(Поскольку в общем случае 
может быть
функцией и координат, то берем частную
производную 
)
Смысл первого уравнения соответствует
максвелловской трактовке явления ЭМИ, то
есть, изменяющееся со временем магнитное поле порождает вихревое электрическое поле.
Второе уравнение Максвелла
|
(30-5)
Это уравнение выражает тот факт, что силовые линии магнитного поля не имеют источника (нет «магнитных зарядов») и всегда замкнуты и, что оно имеет вихревой характер, поток вектора магнитной индукции равен нулю.
Третье уравнение Максвелла
|
(30-6)
Это обобщенный закон полного тока (см. часть 3, лекция №24), который подчеркивает тот факт, что магнитное поле может создаваться не только токами проводимости ( 
), но и перемещенным электрическим полем («ток смещения» 
).
Четвертая теорема Максвелла (см. часть 3, лекция №18).
|
(30-7)
Физически эта теорема подчеркивает тот факт, что электрическое поле может создаваться зарядами, то есть источниками силовых линий электрического поля являются электрические заряды.
Уравнения (30-3,5,6,7) представляют уравнения Максвелла в интегральной форме.
Уравнения Максвелла подчеркивают тот факт, что электрическое поле может создаваться как зарядами, так и переменным магнитным полем, а магнитное поле может создаваться как токами проводимости, так и переменным электрическим полем. При этом магнитное поле всегда носит вихревой характер, о чем говорит второе уравнение Максвелла. Электрическое поле, создаваемое зарядами и переменным магнитным полем носят различный характер.Силовые линии в первом случае начинаются и кончаются на зарядах (четвертое уравнение Максвелла). А электрическое поле, создаваемое переменным магнитным полем не имеет источников и носит вихревой характер, также как магнитное поле (первое уравнение Максвелла).
В вакууме, где нет зарядов и токов, магнитное поле может создаваться только переменным электрическим полем, а электрическое поле только переменным магнитным полем.
Эту совокупность непрерывно изменяющихся и порождающих друг друга электрического и магнитного полей Максвелл назвал электромагнитным полем.
Кроме четырех рассмотренных уравнений в полную систему уравнений Максвелла входят еще три уравнения, называемых материальными. В них входят характеристики вещества («материи»), такие как диэлектрическая и магнитная проницаемости ℰ и µ, проводимость σ.
|
Связь 
и 
(лекция №18, часть 3)
|
Связь и 
(лекция №23, часть 3)
|
Закон Ома в локальной форме (лекция №20, часть 3)
Уравнения Максвелла (30-4) ÷ (30-7) можно представить в дифференциальной форме, т.е. в виде системы дифференциальных уравнений. Для этого используем теоремы Стокса
|
(30-8)
и Остроградского – Гаусса:
|
где 
- некоторый вектор в нашем случае: 
(О функции rot см. примечание к п.2).
Первое уравнение Максвелла
С другой стороны, используя теорему Стокса, получим
Поскольку равны левые части, равны и правые
откуда следует
|
(30-10)
Второе уравнение Максвелла
С другой стороны из теоремы Остроградского – Гаусса
|
Третье уравнение запишем, предварительно выразив токи проводимости через плотность токов проводимости 
,
тогда
с другой стороны
получим
|
(30-12)
Аналогичный подход для четвертого уравнения дает систему уравнений
,
|
- объемная плотность заряда) из которой следует:
(30-13)
Сведем четыре уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной формах, а также три материальных уравнения в таблицу:
Уравнения Максвелла
| Интегральная форма | Дифференциальная форма |
 
| 
|
ℰℰ 
; 
μμ ; 
σ
Отметим, что физический смысл уравнений в дифференциальной форме такой же, что и соответствующих уравнений в интегральной форме. Интегрируя их, можно получить , , , 
.
Примечание.Вихревое электрическое поле характеризуется особой векторной величиной, называемой ротором напряженности поля: 
. Вектор ротора приложен в центре поля перпендикулярно плоскости его силовых линий (в случае круговых линий – в центре окружностей) и направлен относительно них согласно правилу правого винта.
По определению
.
Наглядное представление о роторе вектора можно получить, представив себе небольшую легкую турбинку, помещенную в данную точку текущей жидкости.
 |
3. Волновые уравнения для электромагнитного поля и их решения. Скорость распространения электромагнитных волн в средах. Основные свойства электромагнитных волн.
Пусть имеется однородная и изотропная среда вдали от зарядов и токов. Возбудим в какой-либо точке пространства переменное электрическое гармоническое поле 
(Предположим 
Для простоты рассматриваем этот частный случай).
Из уравнений Максвелла при условии сделанных предположений можно получить волновые уравнения электромагнитного поля
, (30-14)
где - скорость распространения электро-
магнитной волны.
Процесс распространения электромагнитного поля в пространстве называется электромагнитной волной.
Подставим ℰ = 8,85 
μ 
= 
в выражение для скорости u. Если среда – вакуум, то ℰ = 1, μ = 1, тогда получим u = ,то есть скорость электромагнитной волны в вакууме равна скорости света в вакууме. Это обстоятельство приводит к выводу, что свет - электромагнитная волна.
Решения уравнений (30-14)
(30-15)
Выражения (30-15) – уравнения электромагнитной волны. Их графическое
Как показывает опыт, электромагнитные волны проходят через диэлектрики и отражаются от металлов. Для них свойственны такие явления как интерференция, дифракция, поляризация, дисперсия (рассмотрим далее в разделе «Оптика»).
Итак, из решения уравнений Максвелла получаются следующие выводы:
– если в какой-либо ограниченной области пространства возникает электромагнитное поле, то оно не остается локализованным в этой области, а распространяется с конечной скоростью, зависящей от свойств среды;
– если электрическое и магнитные поля меняются по простому гармоническому закону, то электромагнитное поле распространяется в пространстве в виде плоской электромагнитной волны.
Дата добавления: 2015-06-12; просмотров: 1893;