Стоячие волны. 6.1 Стоячие волны в упругой среде
6.1 Стоячие волны в упругой среде
Согласно принципу суперпозиции, при распростране-нии в упругой среде одновременно нескольких волн воз-никает их наложение, причем волны не возмущают друг друга: колебания частиц среды являются векторной сум-мой колебаний, которые совершали бы частицы при рас-пространении каждой из волн в отдельности.
Волны, создающие колебания среды, разности фаз меж-ду которыми в каждой точке пространства постоянны, на-зываются когерентными.
При сложении когерентных волн возникает явление интерференции, заключающееся в том, что в одних точ-ках пространства волны усиливают друг друга, а в других точках – ослабляют. Важный случай интерференции наб-людается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой частотой и амплитудой . Возникающие при этом колебания называют стоячей волной. Чаще все-го стоячие волны возникают при отражении бегущей вол-ны от преграды. При этом падающая волна и отраженная навстречу ей волна при сложении дают стоячую волну.
Получим уравнение стоячей волны. Возьмем две плос-кие гармонические волны, распространяющиеся навстечу друг другу вдоль оси X и имеющие одинаковую частоту и амплитуду :
,
(6.1)
,
где – фаза колебаний точек среды при про-хождении первой волны;
– фаза колебаний точек среды при про-хождении второй волны.
Разность фаз в каждой точке на оси X не будет зави-сеть от времени, т.е. будет постоянной:
(6.2)
Следовательно, обе волны будут когерентными.
Возникшее в результате сложения рассматриваемых волн колебание частиц среды будет следующим:
. (6.3)
Преобразуем сумму косинусов углов по правилу (4.4) и получим:
(6.4)
Перегруппировав множители, получим:
(6.5)
Для упрощения выражения выберем начало отсчета так, чтобы разность фаз и начало отсчета времени , чтобы и сумма фаз была равна нулю: .
Тогда уравнение для суммы волн примет вид:
. (6.6)
Уравнение (6.6) называется уравнением стоячей вол-ны. Из него видно, что частота стоячей волны равна частоте бегущей волны, а амплитуда, в отличие от бегу-щей волны, зависит от расстояния от начала отсчета :
. (6.7)
С учетом (6.7) уравнение стоячей волны принимает вид:
. (6.8)
Таким образом, точки среды колеблются с частотой , совпадающей с частотой бегущей волны, и амплитудой a, зависящей от положения точки на оси X. Соответственно, амплитуда изменяется по закону косинуса и имеет свои максимумы и минимумы (рис. 6.1).
Для того, чтобы наглядно представить расположение минимумов и максимумов амплитуды заменим, согласно (5.29), волновое число его значением:
. (6.9)
Тогда выражение (6.7) для амплитуды примет вид
(6.10)
Отсюда становится видно, что амплитуда смещения мак-симальна при , т.е. в точках, координата кото-рых удовлетворяет условию:
, (6.11)
где
Отсюда получаем координаты точек, где амплитуда сме-щения максимальна:
; (6.12)
Точки, где амплитуда колебаний среды максимальна, называются пучностями волны.
Амплитуда волны равна нулю в точках, где . Координата таких точек, называемых узлами волны, удов-летворяет условию:
, (6.13)
где
Из (6.13) видно, что координаты узлов имеют зна-чения:
, (6.14)
На рис. 6.2 показан примерный вид стоячей волны, от-мечено расположение узлов и пучностей. Видно, что со-седние узлы и пучности смещения отстоят друг от друга на одно и то же расстояние.
Найдем расстояние между соседними пучностями и уз-лами. Из (6.12) получаем расстояние между пучностями:
(6.15)
Расстояние между узлами получаем из (6.14):
(6.16)
Из полученных соотношений (6.15) и (6.16) видно, что расстояние между соседними узлами, как и между сосед-ними пучностями, постоянно и равно ; узлы и пуч-ности сдвинуты относительно друг друга на (рис. 6.3).
Из определения длины волны можно записать выра-жение для длины стоячей волны: она равна половине дли-ны бегущей волны:
(6.17)
Запишем, с учетом (6.17), выражения для координат уз-лов и пучностей:
, (6.18)
, (6.19)
Множитель , определяющий амплитуду стоя-чей волны, меняет свой знак при переходе через нулевое значение, вследствие чего фаза колебаний по разные сто-роны от узла отличается на . Следовательно, все точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в про-тивофазе. Все точки, находящиеся между соседними уз-лами, колеблются синфазно.
Узлы условно разделяют среду на автономные области, в которых гармонические колебания совершаются незави-симо. Никакой передачи движения между областями нет, и, значит, перетекания энергии между областями нет. То есть нет передачи возмущения вдоль оси . Поэтому волна называется стоячей.
Итак, стоячая волна образуется из двух противополож-но направленных бегущих волн равных частот и амп-литуд. Векторы Умова каждой из этих волн равны по мо-дулю и противоположны при направлению, и при сложе-нии дают ноль. Следовательно, стоячая волна энергии не переносит.
6.2 Примеры стоячих волн
6.2.1 Стоячая волна в струне
Расмотрим струну длиной L, закрепленную с обоих кон-цов (рис. 6.4).
Расположим вдоль струны ось X таким образом, чтобы левый конец струны имел координату x=0, а правый – x=L. В струне возникают колебания, описываемые урав-нением:
(6.20)
Запишем граничные условия для рассматриваемой стру-ны. Поскольку её концы закреплены, то в точках с коор-динатами x=0 и x=L колебаний нет:
(6.21)
(6.22)
Найдем уравнение колебаний струны исходя из запи-санных граничных условий. Запишем уравнение (6.20) для левого конца струны с учетом (6.21):
(6.23)
Соотношение (6.23) выполняется для любого времени t в двух случаях:
1. . Это возможно в том случае, если коле-бания в струне отсутствуют ( ). Данный случай инте-реса не представляет, и мы его рассматривать не будем.
2. . Здесь фаза . Этот случай и позволит нам получить уравнение колебаний струны.
Подставим полученное значение фазы в граничное условие (6.22) для правого конца струны:
. (6.25)
Учитывая, что
, (6.26)
из (6.25) получим:
. (6.27)
Снова возникают два случая, при которых выполняется соотношение (6.27). Случай, когда колебания в струне от-сутствуют ( ), мы рассматривать не будем.
Во втором случае должно выполняться равенство:
, (6.27)
а это возможно, только когда аргумент синуса кратен це-лому числу :
, (6.28)
Значение мы отбрасываем, т.к. при этом , а это означало бы или нулевую длину струны (L=0) или вол-новое число k=0. Учитывая связь (6.9) между волновым числом и длиной волны видно, что для того, чтобы вол-новое число равнялось бы нулю, длина волны должна бы быть бесконечной, а это означало бы отсутствие колебаний.
Из (6.28) видно, что волновое число при колебаниях струны, закрепленной с обоих концов, может принимать только определенные дискретные значения:
(6.30)
Учитывая (6.9), запишем (6.30) в виде:
(6.31)
откуда волучаем выражение для возможных длин волн в струне:
(6.31)
Другими словами, на длине струны L должно уклады-ваться целое число n полуволн:
(6.32)
Соответствующие частоты колебаний можно опреде-лить из (5.7):
. (6.33)
Здесь – фазовая скорость волны, зависящая, соглас-но (5.102), от линейной плотности струны и силы на-тяжения струны :
(6.34)
Подставив (6.34) в (6.33), получим выражение, описы-вающее возможные частоты колебаний струны:
, (6.36)
Частоты называют собственными частотами стру-ны. Частоту (при n = 1):
(6.37)
называют основной частотой (или основным тоном) струны. Частоты, определяемые при n>1 называются обертонами или гармониками. Номер гармоники равен n-1. Например, частота :
(6.38)
соответствует первой гармонике, а частота :
(6.39)
сответствует второй гармонике, и т.д. Поскольку струну можно представить в виде дискретной системы с беско-нечным числом степеней свободы, то каждая гармоника является модой колебаний струны. В общем случае коле-бания струны представляют собой суперпозицию мод.
Каждой гармонике соответствует своя длина волны. Для основного тона (при n=1) длина волны:
, (6.40)
соответственно для первой и второй гармоники (при n=2 и n=3) длины волн будут:
, (6.41)
(6.42)
На рис.6.5 показан вид нескольких мод колебаний, осуществляемых струной.
Таким образом, струна с закрепленными концами реа-лизует в рамках классической физики исключительный случай – дискретный спектр частоты колебаний (или длин волн). Таким же образом ведет себя упругий стер-жень с одним или обоими зажатыми концами и колебания воздушного столба в трубах, что и будет рассмотрено в последующих разделах.
6.2.2 Влияние начальных условий на движение
непрерывной струны. Фурье-анализ
Колебания струны с зажатыми концами помимо дис-кретного спектра частот колебаний обладают еще одним важным свойством: конкретная форма колебаний струны зависит от способа возбуждения колебаний, т.е. от на-чальных условий. Рассмотрим подробней.
Уравнение (6.20), описывающее одну моду стоячей вол-ны в струне, является частным решением дифференциаль-ного волнового уравнения (5.61). Поскольку колебание стру-ны складывается из всех возможных мод (для струны – бес-конечное количество), то и общее решение волнового уравнения (5.61) складывается из бесконечного числа частных решений:
, (6.43)
где i – номер моды колебаний. Выражение (6.43) записа-но с учетом того, что концы струны закреплены:
, (6.44)
, (6.45)
а также с учетом связи частоты i-й моды и ее волнового числа:
(6.46)
Здесь – волновое число i-й моды;
– волновое число 1-й моды;
Найдем величину начальной фазы для каждой моды колебаний. Для этого в момент времени t=0 придадим струне форму, описываемую функцией f0(x), выражение для которой получим из (6.43):
. (6.47)
На рис. 6.6 показан пример формы струны, описывае-мой функцией f0(x).
В момент времени t=0 струна еще покоится, т.е. ско-рость всех ее точек равна нулю. Из (6.43) найдем выраже-ние для скорости точек струны:
, (6.48)
и, подставив в него t=0, получим выражение для скорос-ти точек струны в начальный момент времени:
. (6.49)
Поскольку в начальный момент времени скорость рав-на нулю, то выражение (6.49) будет равно нулю для всех точек струны, если . Из этого следует, что на-чальная фаза для всех мод тоже равна нулю ( ). С учетом этого выражение (6.43), описывающее движение струны, принимает вид:
, (6.50)
а выражение (6.47), описывающее начальную форму стру-ны, выглядит как:
. (6.51)
Стоячая волна в струне описывается функцией, перио-дичной на интервале , где равна двум длинам струны (рис. 6.7):
. (6.52)
Это видно из того, что периодичность на интервале означает:
. (6.53)
Следовательно,
; (6.54)
; (6.55)
, (6.56)
что и приводит нас к выражению (6.52).
Из математического анализа известно, что любая пе-риодическая функция может быть разложена с высо-кой точностью в ряд Фурье:
, (6.57)
где , , – коэффициенты Фурье.
В нашем случае, когда функция является периодичес-кой на интервале , коэффициенты Фурье, согласно [1], рассчитываются как:
, (6.58)
, (6.59)
, (6.60)
где
. (6.61)
В математике в курсе Фурье-анализа показано, что по-лученные таким образом коэффициенты Фурье для разло-жения периодической функции фактически и явля-ются коэффициентами разложения функции f0(x).
Фурье-анализ позволяет разложить колебание, совер-шаемое струной в спектр, т.е. выяснить, какие моды ко-лебаний действительно имеют место при данном способе возбуждения струны.
Рассмотрим два способа возбуждения колебаний струны.
Способ 1. Струне в начальный момент времени прида-ется форма, соответствующая первой моде колебаний и описываемая функцией:
. (6.62)
После того, как струна отпускается, она начинает со-вершать колебания из начального положения. Расчеты по-казывают, что коэффициенты Фурье для этого случая все равны нулю, кроме одного, который равен амплитуде A:
. (6.63)
При таком способе возбуждения возникает только одна мода колебаний; никаких обертонов нет.
Способ 2. Струна отводится от положения равновесия посередине, как это происходит в струнных инстру-ментах. Вид начальной формы представлен на рис. 6.8.
Форма струны, изображенная на рис. 6.8, описывается функцией:
при ,
(6.64)
при .
Функция, соответствующая (6.64), и которая является пе-риодической на интервале , записывается следую-щим образом:
при ,
при , (6.65)
при .
Вид периодической функции (6.65) показан на рис.6.9:
Расчеты показывают, что все коэффициенты Фурье для такой функции равны нулю (включая и коэффициент ). Первые три коэффициента A1, A2, A3 соответственно равны:
, (6.66)
, (6.67)
. (6.68)
Как уже отмечалось, полученные таким образом коэф-фициенты Фурье для разложения периодической функ-ции фактически и являются коэффициентами разло-жения функции f0(x).
Тогда, с учетом трех первых слагаемых ряда Фурье, функция (6.64) может быть приближенно представлена следующим образом:
(6.69)
Мы нашли только три первых члена Фурье-разложения функции (6.64). Конечно, полученный нами ряд Фурье (6.69) при конечном количестве членов, в нашем случае равном трём, может воспроизвести исходную функцию лишь при-ближённо. Однако, вычисления коэффициентов Фурье могут быть продолжены. Получится, что при рассматриваемом на-ми случае колебаний в струне возникает много гармоник (теоретически, бесконечный ряд гармоник).
Сравнивая первый и второй рассмотренные случаи, мы видим, что в первом из них была только одна мода, а во втором возникает много гармоник.
Таким образом, рассмотренные случаи показывают, что конкретная форма колебаний струны, зажатой с двух сторон, существенно зависит от способа возбуждения ко-лебаний, т.е., от начальных условий.
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
Энергия, переносимая упругими волнами | | | Дерматология |
Дата добавления: 2015-06-12; просмотров: 5181;