Гармонические колебания. Рассмотрим материальную точку массой m, которая может перемещаться в горизонтальном направлении без трения

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Рассмотрим материальную точку массой m, которая может перемещаться в горизонтальном направлении без трения. Пусть точка закреплена на конце цилиндрической пружины. Движение материальной точки является одномерным. Для его описания достаточно одной координатной оси Х.

Выберем на горизонтальной оси Х начало отсчёта, соответствующее положению равновесия с координатой х₀=0. На материальную точку действует только сила упругости, направленная к положению равновесия материальной точки. В соответствии с законом Гука, проекция силы упругости на ось 0Х

,

где k – постоянная пружины, называемая также коэффициентом жёсткости. Величина k измеряется в Н/м.

Если материальную точку вывести из положения равновесия и отпустить или в положении равновесия сообщить ей начальный импульс, то она придёт в колебательное движение. Динамическое уравнение движения материальной точки, описывающее её движение в направлении оси Х под действием упругой силы, имеет следующий вид:

или .

Введём обозначение , тогда можно записать:

.

Таким образом, динамическое уравнение движения материальной точки под действием упругой силы является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. В теории линейных дифференциальных уравнений доказывается, что общее решение уравнения можно представить в виде суммы:

,

где и – произвольные постоянные, и – частные решения уравнения. Непосредственной подстановкой легко убедиться, что уравнению удовлетворяют функции: ; .

Тогда общее решение этого уравнения имеет вид:

.

Для нахождения постоянных и нужно воспользоваться начальными условиями:

.

Подстановка начальных условий в уравнение даёт:

.

Для нахождения продифференцируем уравнение для x по времени:

.

После подстановки начального условия: . Тогда:

.

Данное выражение можно преобразовать. Для этого введём величины А и φ₀, определяемые соотношениями:

; .

Подставим эти выражения:

или .

Это уравнение является кинематическим уравнением движения материальной точки под действием упругой силы.

Движение, в котором координата меняется по закону синуса или косинуса, называется гармоническим колебанием. Сама система, совершающая гармонические колебания, называется гармоническим осциллятором.

Так как косинус изменяется в пределах от -1 до +1, то . Положительная величина А, определяющая наибольшее отклонение точки от положения равновесия, называется амплитудой колебаний:

;

Если , то , если , то . Величина называется фазой колебания, – начальная фаза колебаний.

Промежуток времени, в течение которого фаза изменяется на 2π, называют периодом колебаний: . Отсюда:

.

В случае рассматриваемых колебаний материальной точки на пружине .

Число колебаний, совершаемое в единицу времени называют частотой колебаний (точнее – собственной частотой), которая связана с периодом колебаний соотношением . Так как , то величина ω₀ определяет число колебаний за секунд. Величину ω₀ называют также частотой колебаний (точнее – циклической частотой).

График зависимости координаты х от времени для гармонических колебаний имеет вид:

Видно, что скорость точки опережает координату на по фазе. Ускорение опережает координату по фазе на π.

Найдём выражение для полной механической энергии гармонического осциллятора, которая равна сумме кинетической и потенциальной энергии:

.

Учитывая, что :

.