Методы нелинейной интерполяции

Слово крикинг (Kriging) является синонимом «оптимального прогнозирования». Это метод интерполяции, который определяет неизвестные значения по данным наблюдений с известным положением. Этот метод использует вариограммы, чтобы предать пространственные изменения, и минимизирует ошибки определяемых значений, которые оцениваются пространственным распределением оцениваемых значений. Kriging был разработан Матероном (Matheron) и Кригом (Krige).

Метод интерполяции кригинг (kriging), оптимизирует процедуру интерполяции на основе статистической природы поверхности полиномами первого, второго и третьего порядка (рис.5.10).

Рис.5.10. Порядки поверхностей тренда. Поверхности первого, второго и третьего порядка в зависимости от сложности полинома, используемого для представления поверхности.

Кригинг использует идею регионализированной переменной, которая изменяется от места к месту с некоторой видимой непрерывностью, но не может моделироваться только одним математическим уравнением. Оказывается, многие топографические поверхности подходят под это описание [12].

Кригинг обрабатывает эти поверхности так, считая их образованными из трёх независимых величин. Первая, называемая дрейфом или структурой поверхности, представляет поверхность как общий тренд в определённом направлении. Далее, крикинг предполагает, что имеются небольшие отклонения от этой общей тенденции, вроде маленьких пиков и впадин, которые являются случайными, но всё же связанными друг с другом пространственно (пространственно коррелированные). Наконец, мы имеем случайный шум, который не связан с общей тенденцией и не имеет пространственной автокорреляции. Если двигаться вверх по склону, рельеф местности изменяется в восходящем направлении между отправной точкой и вершиной; это – дрейф. По пути мы встречаем локальные снижения и повышения, сопровождаемые случайными, но коррелированными высотами. Также по пути нам встречаются локальные неровности, которые можно представлять как шум значения высоты, так как они не связаны непосредственно с основной поверхностной структурой, прежде всего создающей изменения высоты (Рис.5.11.)

С каждой из трех переменных надо оперировать в отдельности. Дрейф оценивается с использованием математического уравнения, которое наиболее близко представляет общее изменение поверхности, во многом подобно поверхности тренда. Ожидаемое значение высоты измеряется с использованием вариограммы (рис.5.12), на которой по горизонтальной оси откладывается расстояние между отсчетами, называемое лагом, вертикальная ось несет так называемую полудисперсию, которая определяется как половина дисперсии (квадрата стандартного отклонения) между каждым значением высоты и его соседями.

Таким образом, полудисперсия является мерой взаимосвязи значений высоты, зависящей от того, как близко друг к другу они находятся. Затем через точки данных проводится кривая наилучшего приближения, давая меру пространственно-коррелированной случайной компоненты [12].

Рис.5.11. Элементы кригинга. Дрейф (общая тенденция), случайные, но пространственно коррелированные высотные колебания (небольшие отклонения от общей тенденции), и случайный шум.

Из графика видно, когда расстояние между точками отсчета высоты близки и, следовательно, взаимосвязаны вследствие их пространственной близости. С ростом расстояния между точками растет и полудисперсия, показывая быстрый спад пространственной корреляции значений.

Рис.5.12.Пример вариограммы. Она показывает связь между точками данных и аппроксимирующей линией.

Метод крикинга можно представить путем регионализации переменных с учетом весовых коэффициентов, которые распределены по определенному закону (вариограммы) , в зависимости от расстояния между реальной точкой и искомым узлом сетки (грида) [7]:

(5.10)

Чаще всего метод крикинга использует две модели вариограмм:

1. сферическая

2. экспотенциальная

В некоторых случаях могут применятся следующие вариограммы [6]:

Гаусса:

Квадратичная:

Квадратичная относительная:

Степенная

Волновая (Эффект Холла)

Логарифмическая

Где:

- масштабный коэффицент, - анизотропия, относительно выбранного расстояния.

Еще одним способом восстановления непрерывной поверхности явля­ется ее представление в виде среднего весового (Inverse Distance):

(5.11)

где вес р - некоторая положительная убывающая функция от расстояния [9]. Конкретные реализации данного метода отличаются, в основ­ном, способом определения весовых функций. Привлекательная сторона метода среднего весового состоит в том, что при его использовании не требуется решать системы уравнений, и значение высоты поверхности может быть получено в любой ее точке непосредственным применением формулы (5.11). Особенность данного метода состоит также в том, что в зависимости от определения весовой функции он является либо интер­поляцией, либо аппроксимацией.

Этот метод является наиболее простым методом как в теоретическом плане, так и в плане практической реализации на PC. Чаще всего значение в узле представляется суммой произведений значения в точке измерения и некоторого весового коэффициента, который зависит от множества различных параметров, но, прежде всего, – от расстояния до узла. Значение в узле может быть вычислено [6] по значениям в соседних точках , расположенных на расстоянии от узла:

(5.12)

Параметр выбирается исходя из конкретных условий и может принимать значения от 1 до 10.