ЗАКОНЫ ПОДОБИЯ

Рассмотрим эту известную задачу с учетом сопротивления воздуха. Будучи брошенным под углом α к горизонту с начальной скоростью v₀, тело летит, если не учитывать сопротивления воздуха, по параболе, и через некоторое время падает на землю. Напомним элементарное решение этой задачи. Разложим скорость на горизонтальную и вертикальную составляющие:

Поскольку движение по вертикали происходит под действием постоянной силы тяжести, то оно является равнозамедленным до достижения верхней точки на траектории и равноускоренным - после нее; движение же по горизонтали является равномерным. Из формул равноускоренного движения v_y = v -gt; раз в верхней точке v_y = 0, то время достижения верхней точки на траектории

Высота этой точки

Полное время движения до падения на землю 2 ; за это время, двигаясь равномерно вдоль оси х со скоростью v , тело пройдет путь

Для нахождения траектории достаточно из текущих значений x и у исключить t:

следовательно,

(7.11)

Уравнение (7.11) - уравнение параболы.

Полученные формулы могут, в частности, послужить для тестирования будущей компьютерной программы. При достаточно большой начальной скорости сопротивление воздуха может значительно изменить характер движения. Прежде чем выписывать уравнения, вновь оценим, какая из составляющих силы сопротивления - линейная или квадратичная по скорости - дает больший вклад в эту силу, и нельзя ли одной из этих составляющих пренебречь. Оценку проведем для шарика; по порядку величины оценка не зависит от формы тела. Итак, шарик радиусом r ≈ 0,1 м, движущийся со скоростью ~ 1 м/с, испытывает в воздухе линейную (стоксову) силу сопротивления

и квадратичную силу сопротивления

Величины F₁ и F₂ сопоставимые (как принято говорить, «одного порядка», так как они различаются менее, чем в 5 раз). При увеличении размера тела F₂ растет быстрее, чем F₁ (F₁ ~ r, F₂ ~ r²), при увеличении скорости F₂ также растет быстрее, чем F₁ (F₁ ~ v, F₂ ~ v²). Таким образом, если мы моделируем движение брошенного мяча, камня, то необходимо в уравнениях удерживать обе составляющие силы сопротивления, но если мы захотим моделировать полет снаряда, выпущенного из орудия, где скорость полета почти на всем его протяжении сотни метров в секунду, то линейной составляющей силы сопротивления можно пренебречь. Проецируя уравнение на оси х и у, получаем

Поскольку в каждой точке траектории сила сопротивления направлена по касательной к траектории в сторону, противоположную движению, то

где θ - угол между текущим направлением скорости и осью х. Подставляя это в уравнение и учитывая, что , получаем уравнения движения в переменных v_x, v_y.

(7.12)

Поскольку представляет несомненный интерес и траектория движения, дополним систему (7.12) еще двумя уравнениями

(7.13)

и, решая их совместно с (7.12), будем получать разом четыре функции: v_x(t), v_y(t), x(t), y(t).

Прежде чем дать пример решения обсуждаемой задачи, покажем очень полезный прием, чрезвычайно популярный в физическом моделировании, называемый обезразмериванием. При решении конкретных задач мы пользуемся определенной системой единиц (СИ), в которой далеко не все числовые значения лежат в удобном диапазоне. Кроме того, абсолютные значения величин дают мало информации для качественного понимания. Скорость 15 м/с - много это или мало? Все дело в том, по сравнению с чем. Именно в сравнении с чем-то привычным и понятным мы обычно и воспринимаем слова «много» и «мало», даже если делаем это бессознательно. Идея обезразмеривания заключается в переходе от абсолютных значений расстояний, скоростей, времен и т.д. к относительным, причем отношения строятся к величинам, типичным для данной ситуации. В рассматриваемой задаче это особенно хорошо просматривается. В самом деле, при отсутствии сопротивления воздуха мы имеем значения l, h, t, определенные выше; сопротивление воздуха изменит характер движения, и если мы введем в качестве переменных величины

- безразмерные расстояния по осям и время, - то при отсутствии сопротивления воздуха эти переменные будут изменячься в диапазоне от 0 до 1, а в задаче с учетом сопротивления отличия их максимальных значений от единицы ясно характеризуют влияние этого сопротивления. Для скоростей естественно ввести безразмерные переменные, соотнося проекции скорости на оси x и у с начальной скоростью v₀:

Покажем, как перейти к безразмерным переменным в одном из наших уравнений, например, во втором уравнении системы (7.12). Имеем:

(так как постоянный множитель можно вынести за знак производной). Подставляя это в уравнение, получаем

или

Подставляя

получаем

где безразмерные комбинации параметров, входящих в исходные уравнения,

Выполним обезразмеривание во всех уравнениях (7.12), (7.13) (рекомендуем читателям проделать эту процедуру самостоятельно). В результате получим

(7.14)

Начальные условия для безразмерных переменных таковы:

Важнейшая роль обезразмеривания - установление законов подобия. У изучаемого движения есть множество вариантов, определяемых наборами значений параметров, входящих в уравнения (7.12), (7.13) или являющихся для них начальными условиями: k₁, k₂, m, g, v₀, а. После обезразмеривания переменных появляются безразмерные комбинации параметров - в данном случае a, b, α - фактически определяющие характер движения. Если мы изучаем два разных движения с разными размерными параметрами, но такие, что а, b и α одинаковы, то движения будут качественно одинаковы. Число таких комбинаций обычно меньше числа размерных параметров (в данном случае вдвое), что также создает удобство при полном численном исследовании всевозможных ситуаций, связанных с этим процессом. Наконец, как уже отмечалось, величины V_x, V_y, X, Y, τ физически легче интерпретировать, чем их размерные аналоги, так как они измеряются относительно величин, смысл которых очевиден. Прежде чем предпринимать численное моделирование, отметим, что при учете лишь линейной составляющей силы сопротивления модель допускает аналитическое решение. Система уравнений (7.14) при b = 0достаточноэлементарно интегрируется и результаты таковы:

(7.14)

Исключая из двух последних формул время, получаем уравнение траектории:

Заметим, что эта формула не из тех, которые привычно визуализируются, например, по сравнению с совершенно отчетливой формулой (7.11), и здесь компьютер может быть полезен в том, чтобы составить ясное представление о влиянии линейной части силы сопротивления на изучаемое движение.

Рис. 7.8. Семейство траекторий при α = 45°

и значениях α, равных 0,01; 0,1; 1 и 10 (кривые - справа налево)

На рис. 7.8 приведены траектории четырех движений с разными значениями параметра α, характеризующего трение. Видно, как сильно оно влияет на движение - его форму, расстояния по вертикали и горизонтали. Общее исследование при произвольных значениях а и b поможет выполнить приведенная ниже программа.

Фактически представлены две программы: при активизации первого или второго блока. В первом случае она выдает результаты численного моделирования в виде таблицы значений безразмерных скоростей и координат при фиксированном наборе параметров а, b и α, значения которых устанавливаются в разделе определения констант. При взятии в фигурные скобки первого блока и активизации второго (т.е. снятия фигурных скобок) программа выдает в графическом режиме семейство траекторий, отличающихся значениями одного из трех безразмерных параметров (в данном случае b).

Программа 148. Реализация модели «Полет тела, брошенного под углом к горизонту»

Program Pod Uglom;

Uses Crt, Graph;

Type G = Array[1..4] Of Real;

Const A = 0; В =0.1; (параметры модели)

Al = Pi / 4; (угол - параметр модели}

Н = 0.001; Нрr = 0.1; (шаг интегрирования и шаг вывода результатов)

Var N, I, J, M, L, К : Integer;

Y0, Y : G; Х0, X, Xpr, A1, B1, Cosinus, Sinus : Real; LS : String;

Function Ff(I : Integer; X : Real; Y : G) : Real;

{описание правых частей дифференциальных уравнений}

Begin

Case I Of

1: Ff:=-A1*Sinus*Y[l]-Bl*Sinus*Sqrt(Sqr(Y(l])+Sqr(Y[2]))*Y[1];

2: Ff:=-Sinus-A1*Sinus*Y[1]-B1*Sinus*Sqrt(Sqr(Y(1])+Sqr(Y[2]))*Y[2];

3: Ff:=Y[1]/(2*Cosinus);

4: Ff:=2*Y[2]/Sinus

End

End;

Procedure Runge_Kut (N: Integer; Var X: Real; Y0: G; Var Y: G; Н: Real);

(метод Рунге-Кутта четвертого порядка)

Var I : Integer; Z, K1, K2, КЗ, К4 : G;

Procedure Right(X : Real; Y : G; Var F : G) ;

{вычисление правых частей дифференциальных уравнений}

Var I : Integer;

Begin

For I := 1 To N Do F[I] := Ff(I, X, У)

End;

Begin Right(X, Y0, K1); X := X + Н / 2;

For I := 1 To N Do Z[I]:=Y0[I]+H*K1[I]/2; Right(X, Z, K2);

For I := 1 To N Do Z[I]:=YO[I]+H*K2[I]/2; Right(X, Z, КЗ); Х:=Х+Н/2;

For I := 1 To N Do Z[I] := Y0[I] + H * КЗ [I]; Right (X, Z, К4);

For I := 1 To N Do

Y[I]:=Y0[I]+H*(K1[I]+2*K2[I]+2*K3[I]+K4[I])/6;

End;

{следующий блок - для получения численных результатов при одном наборе параметров}

{Begin

Sinus := Sin(Al); Cosinus := Cos(Al); Al := A; Bl := B; ClrScr;

N:=4; X0:=0; Y0[l]:=Cosinus; Y0[2]:=Sinus; Y0[3]:=0; Y0[4]:=0;

WriteLn(' время скорость координаты');

WriteLn; X := Х0; Xpr := 0; Y[4] := Y0[4];

While Y[4] >= 0 Do

Begin

If X >= Xpr Then

Begin

WriteLn ('t=', X : 6 : 3, ' Vx='. Y0[l] : 6 : 3, ' Vy=',

Y0[2] : 6 : 3. ' X=', y0[3] : 6 : 3, ' Y=', Y0[4] : б : 3) ;

Xpr := Xpr + Hpr

End;

Runge_Kut(N, X, Y0, Y, H); Y0 := Y

End;

WriteLn; WriteLn('для продолжения нажмите любую клавишу');

Repeat Until KeyPressed

End.}

{следующий блок - для изображения траекторий при нескольких наборах параметров)

Begin

DetectGraph (J, M); InitGraph (J, M, '');

L := 1; Al := A; Bl := В; Sinus := Sin(Al); Cosinus := Cos(Al);

While L < 5 Do

Begin

N := 4; (Количество уравнений в системе)

Х0 := 0; Y0[l] := Cosinus; (Начальные условия}

Y0[2] := Sinus; Y0[3] := 0; Y0[4] := 0:

SetColor(L); Line(400, 50 + 20 * (L - 1), 440, 50 + 20 * (L - 1));

OutTextXY(450, 50 + 20 * (L - 1), '1 = ');

Str(L, LS); OutTextXY(480, 50+20*(L-l), LS); X:=X0; Y[4]:=Y0[4];

While Y[4] >= 0 Do

Begin

Runge_Kut(N, X, Y0, Y, H); Y0 := Y;

PutPixel(Abs(Trunc(Y0[3]*500)), GetMaxY-Abs(Trunc(Y0[4]*500)), L) ;

End;

Bl := Bl * 10; L := L + 1

End;

OutTextXY(10, 50, 'для продолжения нажмите любую клавишу');

Repeat Until KeyPressed; CloseGraph

End.

Приведем пример. Рассмотрим полет чугунного ядра радиуса R=0,07 м, выпущенного с начальной скоростью v₀ = 60 м/с под углом α = 45° к поверхности Земли. Определим, какое расстояние пролетит ядро, на какую максимальную высоту оно поднимется, а также проследим, как изменяется скорость полета со временем. Будем решать обезразмеренные уравнения, чтобы сократить число параметров. Вычислим значения параметров а и b, после чего решим систему дифференциальных уравнений. Учтем, что плотность чугуна ρ_чуг = 7800 кг/м³.

Расчеты повторялись, сначала с шагом 0,1, затем - вдвое меньшим и т.д. (хорошо известный эмпирический метод контроля точности при пошаговом интегрировании дифференциальных уравнений), пока не был получен приемлемый шаг, при котором достигается точность 10^-3. Ясно, что расчеты надо проводить до тех пор, пока ядро не достигнет земли, т.е. пока Y не станет равным 0. Результаты моделирования - на рис. 7.9. В рассмотренном выше примере сопротивление среды оказывает незначительное влияние на движение тела. Проведем сравнение движения одного и того же тела без учета сопротивления среды и с его учетом, если среда достаточно вязкая (рис. 7.10).

Рис. 7.9. Графики зависимости V(τ) и Y(X) при решении задачи о полете ядра.

Безразмерное значение скорости V получается по формуле .

Конечное значение скорости V < 1 вследствие сопротивления воздуха.

Траектория движения не является параболой по той же причине

Рис. 7.10. Графики зависимости V(τ) и Y(X) при решении задачи о полете тела, брошенного под углом к горизонту, без учета сопротивления воздуха (скорость изменяется от 1 и вновь достигает значения 1; траектория - парабола) и с учетом сопротивления воздуха (конечная скорость меньше 1, и траектория - далеко не парабола) (а = 1, b = 1)

С помощью приведенной выше программы можно провести полное исследование модели в широком диапазоне значений параметров и составить качественное представление об их влиянии на изучаемое движение. Некоторые результаты иллюстрируются рис. 7.11,7.12.

Рис. 7.11. Влияние параметра а на движение тела, брошенного под углом к горизонту, при b = 0,1 (слева) и при b = 1 (справа); α = π/4 (а = 0,01; 0,1; 1; 10; кривые на рисунках соответственно располагаются справа налево)

Рис. 7.12. Влияние параметра b на движение тела, брошенного под углом к горизонту, при a = 0,1 (слева) и при а = 1 (справа); α = π/4 (b = 0,01; 0,1; 1; 10; кривые на рисунках соответственно располагаются справа налево)