Соотношения неопределенностей

Причинная механика Н. А. Козырева [1] начинается с постулатов о том, что в элементарном причинно-следственном звене точка-причина и точка-следствие разделены сколь угодно малыми, но не равными нулю пространственным и временнм различиями, отношение которых есть фундаментальная константа, называемая ходом времени с₂:

(1.1)

Принимается, что константа с₂— псевдоскаляр. При этом ее псевдоскалярность связывается с наличием подобного свойства у величины . Однако утверждение о псевдоскалярности в причинной механике обосновано, на наш взгляд, недостаточно убедительно. Чтобы «обойти» вопрос о том, является псевдоскаляром или истинным скаляром, перейдем в законе (1.1) к абсолютным значениям величин:

(1.2)

В причинной механике физический смысл величин и не детализирован. Мы придадим им смысл, который позволяет установить взаимосвязь причинной механики и квантовой физики.

Пусть пространство и время образуют единое четырехмерное многообразие, причем как по пространственным, так и по временной переменным оно обладает собственно евклидовой геометрией (для дальнейшего не имеет значения, какова геометрия всего пространства-времени в целом — собственно евклидова или псевдоевклидова, потому что в настоящем разделе пространственные и временне величины рассматриваются по отдельности).

Назовем «столкновением» материальных точек (частиц) их взаимодействие при сближении до минимально возможных пространственного и временного расстояний. Следует отметить, что в различных актах «столкновения» минимальное расстояние между частицами может быть различным, при этом оно заведомо отлично от нуля, так как в евклидовом континууме различающиеся точки всегда разделены ненулевым промежутком. (Мы заключаем термин «столкновение» в кавычки, поскольку «сталкивающиеся» частицы не соприкасаются между собой.)

Будем считать, что пространственные и временные координаты «сталкивающихся» материальных точек — независимые случайные переменные, и примем, что величины | | и | | есть квантовомеханические неопределенности (то есть среднеквадратические значения) пространственного и временнго расстояний между двумя «столкнувшимися» материальными точками:

(1.3)

здесь r₁, r₂, t₁, t₂ — пространственные радиусы-векторы и временные координаты «столкнувшихся» частиц; черта над символом — процедура усреднения переменной по всем возможным значениям.

Предположим, что случайные величины r₁ и r₂, а также t₁ и t₂ характеризуются одинаковыми плотностями распределения и одинаковыми средними значениями. Точку пространства-времени, совпадающую со средним положением обеих частиц, назовем точкой столкновения. Именно она воспринимается при макроскопическом описании как место, где находятся обе «столкнувшиеся» частицы. Пространственный радиус-вектор r и временная координата t точки столкновения есть

(1.4)

Среднеквадратические отклонения частиц от точки столкновения в силу тождественности их плотностей распределения одинаковы для обеих частиц и по пространственным и временному направлениям составляют соответственно

(1.5)

Используя формулы (1.3) – (1.5) и независимость случайных величин r₁ и r₂, можем записать:

где точка – знак скалярного произведения векторов. Отсюда следует, что неопределенность пространственного положения частицы связана с величиной |δx| соотношением

(1.6)

Аналогичным образом для неопределенности временной координаты частицы можно получить следующую связь с |δt|:

(1.7)

При макроскопическом описании «столкновения» в качестве точек приложения сил, действующих на частицы, принимается для обеих частиц одна и та же точка – введенная выше точка столкновения с координатами (1.4). Вместе с тем, действительные пространственные и временные положения частиц и, следовательно, точек приложения сил могут не совпадать с точкой столкновения. Неточность задания точек приложения сил приводит к неточностям в определении энергий и импульсов частиц. При этом неточность значения энергии равна работе, которую произвела бы сила при перемещении частицы от точки столкновения до точки ее истинного местонахождения; а неточность значения импульса равна добавке импульса, которую приобрела бы частица под действием данной силы за промежуток времени, отличающий действительный момент взаимодействия от момента, отвечающего точке столкновения. Таким образом, неточности определения энергии и импульса в каждом отдельном акте «столкновения» для одной частицы равны соответственно F₁∙(r₁-r) и F₁(t₁-t), а для другой составляют F₂∙(r₂-r) и F₂(t₂-t), где F₁, F₂ – силы, действующие на первую и вторую частицы. Среднеквадратические значения данных величин могут быть отождествлены с квантовомеханическими неопределенностями энергий и импульсов частиц. Вычислим их.

Пусть частицы взаимодействуют посредством сил, описываемых классической механикой Ньютона, то есть таких сил, которые равны между собой по модулю, противоположны по направлению и имеют общую линию действия – пространственную прямую, проходящую через обе частицы (силами, вводимыми в причинной механике, пренебрежем вследствие их малости). Такие силы могут быть представлены в форме

(1.8)

где F – модуль сил F₁ и F₂; (r₁-r₂)/|r₁-r₂| – направляющий орт; знаки плюс и минус отвечают случаям соответственно взаимного отталкивания и притяжения частиц.

При вычислении неопределенности энергии ограничимся учетом ситуаций, когда «столкнувшиеся» частицы располагаются с точкой столкновения на одной прямой (последняя может быть различной для разных актов «столкновения»). В связи с тем, что в данном случае силы F₁ и F₂ ориентированы вдоль этой же прямой, направляющий орт в выражении (1.8) совпадает с точностью до знака с векторами (r₁-r)/|r₁-r| и (r₂-r)/|r₂-r|, поэтому выражение (1.8) может быть переписано в виде

(1.9)

(здесь и в приводимом ниже равенстве (1.11) знак при F может отличаться от знака в формуле (1.8)). При таком представлении сил F₁ и F₂ неопределенность значения энергии ΔE, одинаковая для обеих частиц, вычисляется очень просто:

(1.10)

где F΄ – значение F в некоторой средней точке; i = 1, 2; здесь использованы теорема о среднем значении и первое из выражений (1.5).

Теперь вычислим неопределенность импульса. Имея целью сравнить получаемый результат с соответствующим результатом квантовой механики, расчет произведем применительно к одномерному случаю, как это делается в [2]. Пусть частицы вместе с точкой столкновения находятся при осуществлении «столкновения» на прямой, параллельной координатной оси z. Тогда силы F₁ и F₂, описываемые выражением (1.8), могут быть представлены в форме

(1.11)

где k – направляющий орт оси z. В этом случае неопределенность z-компоненты импульса p_z, совпадающая для обеих частиц, составляет

(1.12)

где F″ — значение F в некоторой средней точке; i = 1, 2; использованы теорема о среднем значении и второе из выражений (1.5). В данном случае неопределенность z-координаты z, также одинаковая для обеих частиц, равна

(1.13)

где z₁, z₂, z – z‑координаты «столкнувшихся» частиц и точки столкновения.

Конкретизируем значения сил F₁ и F₂. Будем считать, что частицы несут электрические заряды e или –e (–e – заряд электрона), взаимодействуют посредством только электрических сил и при «столкновении» взаимно неподвижны. В этом случае их взаимодействие осуществляется кулоновскими силами, описываемыми выражением (1.8) с модулем

где – электрическая постоянная. В последующем изложении используется только такое значение модуля сил, которое отвечает расстоянию между частицами |r₁-r₂|, равному | |. Именно это значение модуля сил далее обозначается символом F:

(1.14)

Составим произведение модуля сил F и неопределенностей пространственного и временного положений частиц. С учетом зависимостей (1.6), (1.7), (1.14) и определения хода времени с₂ имеем

(1.15)

где α = e²/(4pe_oħc) » 1/137 – постоянная тонкой структуры; ħ = h/(2p); h – постоянная Планка; с – скорость света в вакууме.

Очевидно, что в качестве величин F′ и F″, входящих в выражения (1.10) и (1.12), может быть принято рассматриваемое значение модуля сил: F′ » F″ » F. Отсюда и из выражений (1.10), (1.12), (1.13), (1.15) получаем

(1.16)

Одно из соотношений неопределенностей квантовой механики, записанное для минимально возможных значений неопределенностей, имеет вид

(1.17)

Сравнивая второе из соотношений (1.16) с формулой (1.17), находим:

(1.18)

Тот факт, что основная количественная характеристика причинной механики – константа с₂ – представляется в виде произведения универсальных постоянных, подтверждает справедливость исходного положения теории Козырева о ее фундаментальности.

Указанное численное значение константы с₂ согласуется со значением, полученным Н. А. Козыревым экспериментально путем измерения добавочных сил в механических системах [1, с. 367, 382]. То обстоятельство, что опытное значение с₂ оказалось именно таким, позволило ученому принять зависимость |с₂| = αc в качестве эмпирического факта.

Результат, выражаемый соотношениями (1.18), позволяет по-новому взглянуть на некоторые положения квантовой механики. Ученых-физиков давно волнует происхождение фундаментальной безразмерной константы α – постоянной тонкой структуры. Так, Р. Фейнман пишет: «Вам, конечно, хотелось бы узнать, как появляется это число [...]? Никто не знает. Это одна из величайших проклятых тайн физики: магическое число, которое дано нам и которого человек совсем не понимает» [3, с. 114]. Соотношения (1.18) приподнимают завесу тайны над этим числом. Благодаря им, говоря словами Н. А. Козырева, «наличие безразмерной постоянной α перестает быть загадочным и становится естественным как отношение некоторых двух [фундаментальных] скоростей» [1, с. 367].

Выражения (1.18) позволяют также уточнить и дать новую интерпретацию соотношению неопределенностей для энергии и времени. Это соотношение применительно к наименьшим возможным значениям неопределенностей обычно записывают в виде

(1.19)

Данное соотношение, в отличие от соотношения (1.17), устанавливает не точную нижнюю границу произведения неопределенностей, а только его порядок. И сами входящие в (1.19) величины трактуются иначе, нежели величины, фигурирующие в (1.17). Это связано с тем, что в квантовой механике время t считается детерминированной, а не случайной переменной, поэтому величины ∆E и ∆t понимаются не в обычном смысле, как среднеквадратические отклонения, а соответственно как погрешность измерения энергии и как длительность процесса ее измерения [4, с. 317; 5]. Нетрудно видеть, что различие в трактовках квантовомеханических зависимостей (1.17) и (1.19) противоречит релятивистской симметрии пространства и времени. Выражения (1.18) позволяют устранить это противоречие. Они и первое из равенств (1.16) приводят к соотношению неопределенностей для энергии и времени в «стандартной» форме, связывающей минимально возможные значения среднеквадратических отклонений соответствующих переменных:

(1.20)

Выражения (1.18) вместе с (1.15) дают еще одно соотношение неопределенностей:

(1.21)

где слева стоит величина, имеющая размерность действия.

Ограничения на возможные значения величин ∆r и ∆t можно получить, если принять условие, что неопределенность энергии не превосходит энергию покоя электрона:

(1.22)

где m_e – масса электрона. Данное условие и выражения (1.6), (1.7), (1.14), (1.20), (1.21) приводят к следующим неравенствам:

(1.23)

здесь величина, стоящая в правой части первого неравенства, равна половине так называемого классического радиуса электрона.

В настоящем разделе мы отошли от важного для причинной механики подразделения взаимодействующих материальных точек на причину и следствие (различающихся, в частности, тем, что следствие всегда наступает позже причины). В приведенных выше рассуждениях взаимодействующие частицы рассматриваются как эквивалентные, и их нельзя объективно разделить на причину и следствие; к примеру, их временные координаты при «столкновении» удовлетворяют с равной вероятностью как неравенству t₁ > t₂ , так и неравенству t₂ > t₁.

Воспользовавшись соотношением неопределенностей (1.17), мы доказали справедливость закона Козырева (1.2) и подтвердили, что ход времени с₂ имеет именно то значение, которое Н. А. Козырев приписывал ему на основании результатов макроскопических экспериментов. Легко убедиться в том, что если изменить ход рассуждений и принять в качестве исходного постулата закон (1.2) с константой с₂, даваемой выражениями (1.18), то с помощью приведенных рассуждений можно придти к соотношениям неопределенностей (1.17), (1.20), (1.21). Это означает, в частности, что квантовомеханические соотношения неопределенностей могут рассматриваться как следствие постулатов причинной механики.

Таким образом, содержание настоящего раздела позволяет заключить, что причинная механика Козырева находится в согласии с квантовой физикой. Более того, причинная механика приводит к новой интерпретации соотношений неопределенностей Гейзенберга: эти соотношения оказывается возможным трактовать как следствие того обстоятельства, что при «столкновении» частиц пространственное и временное расстояния между ними имеют неопределенности, подчиняющиеся закону (1.2) с константой с₂, равной по модулю αс. Такая трактовка, очевидно, может привести к изменению взгляда и на другие концептуальные положения квантовой механики.