Теплоємність твердих тіл. Закон Дюлонга-Пті. Теорія теплоємності Ейнштейна і Дебая

Теплоє́мність — фізична величина, яка визначається кількістю теплоти, яку потрібно надати тілу для зміни його температури на один градус.

Позначається здебільшого великою латинською літерою C.

Теплоє́мність твердо́го ті́ла — кількість теплоти, необхідної для підвищення температури тіла на один градус, визначається в основному теплоємністю кристалічної ґратки. Внесок електронів у теплоємність більший за вклад ґратки тільки для металів при дуже низьких температурах.

Існує декілька теорій теплоємності твердого тіла:

Закон Дюлонга - Пті і закон Джоуля - Коппа. Обидва закони виведені з класичних уявлень і з певною точністю справедливі лише для нормальних температур (приблизно в межах 15 -100 ° C).

Квантова теорія теплоємності Ейнштейна.

Квантова теорія теплоємності Дебая.

В області низьких температур, де домінує вплив електронного газу теплоємність лінійно зростає з температурою (дивіться Теплоємність електронного газу). При вищих температурах, а для неметалевих твердих тіл при будь-яких низьких температурах, теплоємність зростає пропорційно кубу температури (дивіться Закон Дебая). В цій області температур основний внесок у теплоємність здійснюють низькочастотні коливання — акустичні фонони.

При збільшенні температури починають впливати оптичні фонони. Цей внесок можна оцінити, застосувавши модель теплоємності Ейнштейна.

При температурах, вищих за температуру Дебая справедливий закон Дюлонга-Пті — на кожен ступінь свободи припадає однакова енергія.

Теплоємність системи невзаємодіючих частинок, наприклад газу, визначається числом ступенів вільності частинок.

Зако́н Дюлонга — Пті визначає питому теплоємність твердого тіла за формулою

де c — питома теплоємність, R — універсальна газова стала, M — молярна маса.

Закон Дюлонга—Пті справедливий при температурах вищих за температуру Дебая.

Теорія теплоємності Ейнштейна

Квантова теорія теплоемкостей Ейнштейна була створена Ейнштейном в 1907 при спробі пояснити експериментально спостережувану залежність теплоємності від температури .

При розробці теорії Ейнштейн спирався на наступні припущення:

Атоми в кристалічній решітці поводяться як гармонійні осцилятори , що не взаємодіють один з одним.

Частота коливань всіх осциляторів однакова і дорівнює .

Число осциляторів в 1 молі речовини одно , Де - число Авогадро .

Енергія їх квантована: , Де , - редукована постійна Планка (постійна Дірака) .

Число осциляторів з різною енергією визначається розподілом Больцмана : , Де - постійна Больцмана , - термодинамічна температура .

Внутрішня енергія 1 моля речовини: .

Середнє значення енергії одного осцилятора знаходиться зі співвідношення для середнього значення:

і становить: , звідси: .

Визначаючи теплоємність як похідну внутрішньої енергії по температурі, отримуємо остаточну формулу для теплоємності:

.

Відповідно до моделі, запропонованої Ейнштейном, при абсолютному нулі температури теплоємність прагне до нуля, при великих температурах, навпаки, виконуєтьсязакон Дюлонга - Пті . Величина іноді називається температурою Ейнштейна.

Недоліки теорії

Розбіжність теорій Ейнштейна і Дебая

Теорія Ейнштейна, однак, недостатньо добре узгоджується з результатами експериментів в силу неточності деяких припущень Ейнштейна, зокрема, припущення про рівність частот коливань всіх осциляторів. Більш точна теорія була створена Дебаєм в 1912 .

Закон Дебая стверджує, що при низьких температурах теплоємність твердого тіла зростає пропорційно кубу температури.

Закон Дебая справедливий для діелектриків і напівпровідників при температурах, набагато менших за температуру Дебая, яка є характеристикою кожної конкретної речовини. Знаючи температуру Дебая, теплоємність при сталому об'ємі можна оцінити за формулою

,

де N — число атомів, — стала Больцмана, Т — температура, — температура Дебая.

Теплоємність при сталому тиску для твердих тіл незначно відрізняється від теплоємності при сталому об'ємі.

Петер Дебай побудував теорію теплоємності твердого тіла в 1912 році, вдосконаливши модель Ейнштейна, враховуючи низькочастотні коливання кристалічної ґратки — акустичні фонони.