ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Пример 1. Два точечных заряда и закреплены на расстоянии друг от друга
Пример 1. Два точечных заряда и
закреплены на расстоянии
друг от друга. По величине заряд
в 9 раз больше заряда
. Третий заряд
может перемещаться только вдоль прямой, проходящей через заряды. Определить положение заряда
, при котором он будет находиться в равновесии. При каком знаке заряда
равновесие будет устойчивым?
Дано:
Найти: – ?
Решение: Заряд
будет находиться в равновесии в том случае, если геометрическая сумма сил, действующих на него, будет равна нулю. Это значит, что на заряд
должны действовать две силы, равные по модулю и противоположные по направлению. Рассмотрим, на каком из трех участков I, II, III (см. рис.) может быть выполнено это условие. Для определенности будем считать, что заряд
положительный.
На участке I (рис. а) на заряд будет действовать две противоположно направленные силы
и
. Сила
, действующая со стороны заряда
, в любой точке этого участка больше силы
, действующей со стороны заряда
, так как больший
будет всегда находиться ближе к заряду
, чем меньший заряд
. Поэтому равновесие на этом участке невозможно.
На участке II (рис. б) обе силы и
направлены в одну сторону: к заряду
. Следовательно, и на втором участке равновесие невозможно.
На участке III (рис. с) силы и
направлены в противоположные стороны, так же, как и на участке I, но здесь меньший заряд
будет находиться всегда ближе к заряду
, чем больший заряд
. Это значит, что на этом участке можно найти такую точку на прямой, где силы
и
будут одинаковы по модулю, т.е.
. Пусть
и
– расстояние от меньшего и большего зарядов до заряда
. Выразив в равенстве (1)
и
в соответствии с законом Кулона, получим
, или
, откуда
;
. Корень
не удовлетворяет физическому условию задачи (в этой точке силы
и
хотя и равны по абсолютной величине, но направлены в одну сторону).
Определим теперь знак заряда, при котором равновесие будет устойчивым. Равновесие называется устойчивым, если при смещении заряда от положения равновесия возникают силы, возвращающие его в это положение. Рассмотрим смещение заряда в двух случаях: когда заряд положителен и когда заряд отрицателен.
Если заряд положителен, то при смещении его влево обе силы
и
возрастают, но
возрастает медленнее (заряд
всегда находится дальше, чем заряд
). Следовательно,
(по абсолютному значению) больше, чем
, и на заряд
будет действовать результирующая сила, направленная также влево. Под действием этой силы заряд
удаляется от положения равновесия. То же происходит и при смещении заряда
вправо. Сила
будет убывать быстрее, чем
. Геометрическая сумма сил в этом случае направлена вправо. Заряд под действием этой силы также будет перемещаться вправо, т.е. удаляться от положения равновесия. Таким образом, в случае положительного заряда равновесие является неустойчивым.
Если заряд отрицателен, то его смещение влево вызовет увеличение сил
и
, но сила
будет возрастать медленнее, чем
, т.е. |F2| > |F1|. Результирующая сила направлена вправо. Под действием этой силы заряд
возвращается к положению равновесия. При смещении
вправо сила
убывает быстрее, чем
,т.е. |F1|>|F2|. Результирующая сила направлена влево, и заряд
опять будет возвращаться к положению равновесия. При отрицательном заряде равновесие является устойчивым. Величина самого заряда
несущественна.
Пример 2. Три положительных заряда расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд
нужно поместить в центре треугольника, чтобы указанная система зарядов находилась в равновесии?
Дано:
Найти: – ?
Решение: Все три заряда, расположенных по вершинам треугольника, находятся в одинаковых условиях. Поэтому достаточно выяснить, какой заряд следует поместить в центре треугольника, чтобы какой-нибудь один из трех зарядов, например , находился в равновесии. Заряд
будет находиться в равновесии, если векторная сумма действующих на него сил равна нулю (см. рис.):
, где
,
,
– силы, с которыми действуют на заряд
соответственно заряды
,
,
;
– равнодействующая сил
и
. Так как силы
и
направлены по одной прямой в противоположные стороны, векторное равенство можно заменить скалярным:
, откуда:
.
Выразим в последнем равенстве
как сумму проекций сил
и
на направление диагонали ромба
Применив закон Кулона и, так как , найдем
, откуда
.
Из геометрических построений в равностороннем треугольнике следует, что .
Подставим в формулу: .
Произведем вычисления:
Следует отметить, что равновесие системы зарядов будет неустойчивым.
Пример 3. Два одинаковых шарика массой подвешены на нитях длиной
. После того, как шарикам были сообщены одинаковые заряды, они разошлись на расстояние
. Определить заряды шариков.
Дано: ;
;
.
Найти: – ?
Решение: На каждый из отклоненных шариков действуют: – сила тяжести;
– сила натяжения нити;
– электрическая сила взаимодействия шариков (см. рис.). Запишем условие равновесия шариков под действием приложенных сил в векторной форме:
Запишем это уравнение в проекциях на выбранные направления осей х и у:
;
(1). Учитывая, что
запишем уравнение (1) в виде:
;
. (2)
Разделив почленно первое из уравнений (2) на второе, получим
.
Поскольку угол α мал, , тогда
,
Вычислим: :
.
Пример 4. Точечные электрические заряды и
находятся в воздухе на расстоянии
друг от друга. Определить напряженность
и потенциал
поля, создаваемого этими зарядами в точке А, удаленной от заряда
на расстояние
и от заряда
на
.
Дано: ;
;
;
.
Найти: ,
– ?
Решение: Согласно принципу суперпозиции электрических полей каждый заряд создает поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Поэтому напряженность
электрического поля в искомой точке может быть найдена как геометрическая сумма напряженностей
и
полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности:
.
Напряженность электрического поля, создаваемого в воздухе зарядами
и
определяется по следующим формулам:
(1),
. (2)
Вектор направлен по силовой линии от заряда
, так как заряд
положителен; вектор
направлен также по силовой линии, но к заряду
, так как заряд
отрицателен. Модуль вектора
найдем по теореме косинусов:
. (3)
Здесь – угол между векторами
и
, который может быть найден из треугольника со сторонами
,
и
:
. В данном случае во избежание громоздких записей удобно значение
вычислить отдельно:
. Подставив выражения
и
в уравнение (3) и вынеся общий множитель
за знак корня, получим
. (4)
В соответствии с принципом суперпозиции электрических полей потенциал результирующего поля, создаваемого двумя зарядами
и
, равен алгебраической сумме потенциалов:
(5).
Потенциал электрического поля, создаваемого в вакууме точечным зарядом на расстоянии
от него выражается формулой
(6). В нашем случае согласно формулам (5) и (6) получим
, или
Произведем вычисления:
При вычислении
знак заряда
опущен, так как он определяет направление вектора напряженности, которое было учтено при его графическом изображении (см. рис.):
Пример 5. Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом , равномерно заряженным с линейной плотностью
. Определить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстоянии
и
от поверхности цилиндра в средней его части.
Дано: ;
;
.
Найти: –?
Решение: Для определения разности потенциалов воспользуемся соотношением между напряженностью поля и изменением потенциала: . Для поля с осевой симметрией, каким является поле цилиндра, это соотношение можно записать в виде
, или
. Интегрируя это выражение, найдем разность потенциалов двух точек, отстоящих от оси цилиндра на расстояниях
и
:
. (1)
Так как цилиндр длинный, и точки взяты вблизи его средней части, для выражения напряженности поля можно воспользоваться формулой напряженности поля, создаваемого бесконечно длинным цилиндром: . Подставив выражение Е в уравнение (1), получим:
. (2)
Произведем вычисления, учитывая, что ;
.
.
Пример 6. Заряд переносится из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии
от поверхности заряженного шара радиусом
. Поверхностная плотность положительного заряда
. Определить совершаемую при этом работу. Какая работа совершается на последних
пути?
Дано: ,
;
,
.
Найти:А – ?
Решение: Работа внешней силы по перемещению заряда из точки поля с потенциалом
в другую точку с потенциалом
равна абсолютной величине, но противоположна по знаку работе
сил поля по перемещению заряда между этими точками поля, т.е.
. Работа сил электрического поля определяется по формуле
.
Тогда (1), где
и
– потенциалы в начальной и конечной точках соответственно.
Потенциал, создаваемый заряженным шаром радиусом в точке на расстоянии
от его поверхности, определяется по формуле
(2), где
– заряд шара.
Потенциал в бесконечно удаленной точке (при
) будет равен нулю. Потенциал
, рассчитанный по формуле (2), подставим в (1) и после преобразований получим
(3).
Подставив численные значения в уравнение (3), получим
.
Работу на последних 10 см пути можно определить по формуле
, (4)
где
– потенциал в точке на расстоянии (R+r1+r2) от центра шара. Подставив выражение
и
в уравнение (4), после преобразований получим
. (5)
Первое слагаемое в этом уравнении численно равно . Подставим числовые значения и вычислим
:
.
Пример 7. Шарик массой перемещается из точки А, потенциал которой
в точку В, потенциал которой равен нулю. Определить скорость шарика в точке А, если в точке В его скорость
. Заряд шарика
.
Дано: .
Найти:V1 – ?
Решение: Шарик перемещается под действием электрической силы со стороны поля. При этом изменение кинетической энергии шарика равно работе электрической силы: . (1)
Поскольку и А =q (φ1 – φ2), уравнение (1) можно привести к виду
, откуда
.
Пример 8. Два плоских конденсатора одинаковой электроемкости соединены в батарею последовательно и подключены к источнику тока с электродвижущей силой Е. Как изменится разность потенциалов U1 на пластинах первого конденсатора, если пространство между пластинами второго конденсатора, не отключая источника тока, заполнить диэлектриком с диэлектрической проницаемостью
?
Дано: .
Найти: – ?
Решение: До заполнения второго конденсатора диэлектриком разность потенциалов на пластинах обоих конденсаторов была одинакова: . После заполнения электроемкость второго конденсатора возросла в ε раз:
. Электроемкость первого не изменилась, т.е.
.
Так как источник тока не отключался, общая разность потенциалов на батарее конденсаторов осталась прежней, она лишь перераспределилась между конденсаторами. На первом конденсаторе
, (1)
где q – заряд на пластинах конденсатора. Поскольку при последовательном соединении конденсаторов заряд на каждой пластине и на всей батарее одинаков, , где
Таким образом, . Подставив это выражение заряда в формулу (1), найдем
.
Чтобы найти, как изменилась разность потенциалов на пластинах первого конденсатора, вычислим отношение: ;
. Таким образом, разность потенциалов на пластинах первого конденсатора после заполнения второго конденсатора диэлектриком возросла в 1,75 раза.
Пример 9. Конденсатор емкостью был заряжен до разности потенциалов
. После отключения от источника тока конденсатор соединили параллельно с другим незаряженным конденсатором емкостью
. Какая энергия
израсходуется на образование искры в момент присоединения второго конденсатора?
Дано:
Найти: – ?
Решение: Энергия, израсходованная на образование искры,
, (1)
где – энергия, которой первый конденсатор до присоединения к нему второго конденсатора;
– энергия, которую имеет батарея, составленная из двух конденсаторов.
Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле (2), где С – емкость конденсатора или батареи конденсаторов. Выразив
и
аналогично формуле (2) и приняв во внимание, что общая емкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, получим
, (3)
где U2 – разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов.
Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остался прежним, выразим разность потенциалов U2 следующим образом:
(4)
Подставив выражение для U2 в (3), найдем
, или
Произведем вычисления: .
Пример 10.Элемент с э.д.с. Е = 2,1В и внутренним сопротивлением соединен с реостатом. Определить силу тока в цепи и сопротивление реостата, если напряжение на зажимах элемента U = 2В. Какой длины надо взять для изготовления реостата железную проволоку, если площадь ее сечения S = 0,75мм2 ?
Дано:э.д.с. = Е = 2,1В; ; U = 2В; S = 0,75мм2=
Найти:l – ?
Решение: По закону Ома для замкнутой цепи сила тока
(1)
По закону Ома для участка цепи, состоящего из реостата, та же сила тока . (2). Решив совместно уравнение (1) и (2), получим:
;
;
;
Из формулы найдем длину железной проволоки:
где
– удельное сопротивление железа.
Пример 11. Определить сопротивление подводящих проводов источника с напряжением U = 120В, если при коротком замыкании предохранители из свинцовой проволоки площадью сечения и длиной
плавятся за
. Начальная температура предохранителя
.
Дано:U = 120В; ,
;
;
.
Найти:R – ?
Решение: Количество теплоты, необходимое для нагревания свинца до точки плавления и последующего плавления свинца при этой температуре, Q1 = ΔQ1 + ΔQ2. Так как ΔQ1 = С m ΔT, ΔQ2 = ,
, ΔT = Тпл – Т,
, (1)
где D – плотность свинца; C – удельная теплоемкость свинца; Тпл – температура плавления свинца.
При коротком замыкании сопротивление цепи равно R + Rпр,
где – сопротивление предохранителя.
Сила тока короткого замыкания .
По закону Джоуля-Ленца количество теплоты, выделяющееся в предохранителе за время t,
. После преобразований получим
. (2)
Считая, что все количество теплоты, выделяющееся в предохранителе, идет на его плавление, получим Q1 = Q2, или с учетом выражений (1) и (2)
, откуда
Дата добавления: 2015-05-30; просмотров: 2059;