ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Пример 1. Два точечных заряда и закреплены на расстоянии друг от друга

Пример 1. Два точечных заряда и закреплены на расстоянии друг от друга. По величине заряд в 9 раз больше заряда . Третий заряд может перемещаться только вдоль прямой, проходящей через заряды. Определить положение заряда , при котором он будет находиться в равновесии. При каком знаке заряда равновесие будет устойчивым?

Дано:

Найти: – ?

Решение: Заряд будет находиться в равновесии в том случае, если геометрическая сумма сил, действующих на него, будет равна нулю. Это значит, что на заряд должны действовать две силы, равные по модулю и противоположные по направлению. Рассмотрим, на каком из трех участков I, II, III (см. рис.) может быть выполнено это условие. Для определенности будем считать, что заряд положительный.

На участке I (рис. а) на заряд будет действовать две противоположно направленные силы и . Сила , действующая со стороны заряда , в любой точке этого участка больше силы , действующей со стороны заряда , так как больший будет всегда находиться ближе к заряду , чем меньший заряд . Поэтому равновесие на этом участке невозможно.

На участке II (рис. б) обе силы и направлены в одну сторону: к заряду . Следовательно, и на втором участке равновесие невозможно.

На участке III (рис. с) силы и направлены в противоположные стороны, так же, как и на участке I, но здесь меньший заряд будет находиться всегда ближе к заряду , чем больший заряд . Это значит, что на этом участке можно найти такую точку на прямой, где силы и будут одинаковы по модулю, т.е. . Пусть и – расстояние от меньшего и большего зарядов до заряда . Выразив в равенстве (1) и в соответствии с законом Кулона, получим , или , откуда ; . Корень не удовлетворяет физическому условию задачи (в этой точке силы и хотя и равны по абсолютной величине, но направлены в одну сторону).

Определим теперь знак заряда, при котором равновесие будет устойчивым. Равновесие называется устойчивым, если при смещении заряда от положения равновесия возникают силы, возвращающие его в это положение. Рассмотрим смещение заряда в двух случаях: когда заряд положителен и когда заряд отрицателен.

Если заряд положителен, то при смещении его влево обе силы и возрастают, но возрастает медленнее (заряд всегда находится дальше, чем заряд ). Следовательно, (по абсолютному значению) больше, чем , и на заряд будет действовать результирующая сила, направленная также влево. Под действием этой силы заряд удаляется от положения равновесия. То же происходит и при смещении заряда вправо. Сила будет убывать быстрее, чем . Геометрическая сумма сил в этом случае направлена вправо. Заряд под действием этой силы также будет перемещаться вправо, т.е. удаляться от положения равновесия. Таким образом, в случае положительного заряда равновесие является неустойчивым.

Если заряд отрицателен, то его смещение влево вызовет увеличение сил и , но сила будет возрастать медленнее, чем , т.е. |F₂| > |F₁|. Результирующая сила направлена вправо. Под действием этой силы заряд возвращается к положению равновесия. При смещении вправо сила убывает быстрее, чем ,т.е. |F₁|>|F₂|. Результирующая сила направлена влево, и заряд опять будет возвращаться к положению равновесия. При отрицательном заряде равновесие является устойчивым. Величина самого заряда несущественна.

Пример 2. Три положительных заряда расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд нужно поместить в центре треугольника, чтобы указанная система зарядов находилась в равновесии?

Дано:

Найти: – ?

Решение: Все три заряда, расположенных по вершинам треугольника, находятся в одинаковых условиях. Поэтому достаточно выяснить, какой заряд следует поместить в центре треугольника, чтобы какой-нибудь один из трех зарядов, например , находился в равновесии. Заряд будет находиться в равновесии, если векторная сумма действующих на него сил равна нулю (см. рис.):

, где , , – силы, с которыми действуют на заряд соответственно заряды , , ; – равнодействующая сил и . Так как силы и направлены по одной прямой в противоположные стороны, векторное равенство можно заменить скалярным: , откуда: .

Выразим в последнем равенстве как сумму проекций сил и на направление диагонали ромба

Применив закон Кулона и, так как , найдем , откуда .

Из геометрических построений в равностороннем треугольнике следует, что .

Подставим в формулу:_.

Произведем вычисления:

Следует отметить, что равновесие системы зарядов будет неустойчивым.

Пример 3. Два одинаковых шарика массой подвешены на нитях длиной . После того, как шарикам были сообщены одинаковые заряды, они разошлись на расстояние . Определить заряды шариков.

Дано: ; ; .

Найти: – ?

Решение: На каждый из отклоненных шариков действуют: – сила тяжести; – сила натяжения нити; – электрическая сила взаимодействия шариков (см. рис.). Запишем условие равновесия шариков под действием приложенных сил в векторной форме:

Запишем это уравнение в проекциях на выбранные направления осей х и у: ; (1). Учитывая, что запишем уравнение (1) в виде:

; . (2)

Разделив почленно первое из уравнений (2) на второе, получим

Поскольку угол α мал, , тогда ,

Вычислим: :

Пример 4. Точечные электрические заряды и находятся в воздухе на расстоянии друг от друга. Определить напряженность и потенциал поля, создаваемого этими зарядами в точке А, удаленной от заряда на расстояние и от заряда на .

Дано: ; ; ; .

Найти: , – ?

Решение: Согласно принципу суперпозиции электрических полей каждый заряд создает поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Поэтому напряженность электрического поля в искомой точке может быть найдена как геометрическая сумма напряженностей и полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: .

Напряженность электрического поля, создаваемого в воздухе зарядами и определяется по следующим формулам:

(1), . (2)

Вектор направлен по силовой линии от заряда , так как заряд положителен; вектор направлен также по силовой линии, но к заряду , так как заряд отрицателен. Модуль вектора найдем по теореме косинусов: . (3)

Здесь – угол между векторами и , который может быть найден из треугольника со сторонами , и : . В данном случае во избежание громоздких записей удобно значение вычислить отдельно: . Подставив выражения и в уравнение (3) и вынеся общий множитель за знак корня, получим . (4)

В соответствии с принципом суперпозиции электрических полей потенциал результирующего поля, создаваемого двумя зарядами и , равен алгебраической сумме потенциалов: (5).

Потенциал электрического поля, создаваемого в вакууме точечным зарядом на расстоянии от него выражается формулой (6). В нашем случае согласно формулам (5) и (6) получим

, или

Произведем вычисления:

При вычислении знак заряда опущен, так как он определяет направление вектора напряженности, которое было учтено при его графическом изображении (см. рис.):

Пример 5. Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом , равномерно заряженным с линейной плотностью . Определить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстоянии и от поверхности цилиндра в средней его части.

Дано: ;; .

Найти: –?

Решение: Для определения разности потенциалов воспользуемся соотношением между напряженностью поля и изменением потенциала: . Для поля с осевой симметрией, каким является поле цилиндра, это соотношение можно записать в виде , или . Интегрируя это выражение, найдем разность потенциалов двух точек, отстоящих от оси цилиндра на расстояниях и :

. (1)

Так как цилиндр длинный, и точки взяты вблизи его средней части, для выражения напряженности поля можно воспользоваться формулой напряженности поля, создаваемого бесконечно длинным цилиндром: . Подставив выражение Е в уравнение (1), получим:

. (2)

Произведем вычисления, учитывая, что ; .

Пример 6. Заряд переносится из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии от поверхности заряженного шара радиусом . Поверхностная плотность положительного заряда . Определить совершаемую при этом работу. Какая работа совершается на последних пути?

Дано: , ; , .

Найти:А – ?

Решение: Работа внешней силы по перемещению заряда из точки поля с потенциалом в другую точку с потенциалом равна абсолютной величине, но противоположна по знаку работе сил поля по перемещению заряда между этими точками поля, т.е. . Работа сил электрического поля определяется по формуле .

Тогда (1), где и – потенциалы в начальной и конечной точках соответственно.

Потенциал, создаваемый заряженным шаром радиусом в точке на расстоянии от его поверхности, определяется по формуле

(2), где – заряд шара.

Потенциал в бесконечно удаленной точке (при ) будет равен нулю. Потенциал _,рассчитанный по формуле (2), подставим в (1) и после преобразований получим

(3).

Подставив численные значения в уравнение (3), получим

Работу на последних 10 см пути можно определить по формуле

, (4)

где – потенциал в точке на расстоянии (R+r₁+r₂) от центра шара. Подставив выражение и в уравнение (4), после преобразований получим . (5)

Первое слагаемое в этом уравнении численно равно . Подставим числовые значения и вычислим :

Пример 7. Шарик массой перемещается из точки А, потенциал которой в точку В, потенциал которой равен нулю. Определить скорость шарика в точке А, если в точке В его скорость . Заряд шарика .

Дано: .

Найти:V₁ – ?

Решение: Шарик перемещается под действием электрической силы со стороны поля. При этом изменение кинетической энергии шарика равно работе электрической силы: . (1)

Поскольку и А =q (φ₁ – φ₂), уравнение (1) можно привести к виду , откуда

Пример 8. Два плоских конденсатора одинаковой электроемкости соединены в батарею последовательно и подключены к источнику тока с электродвижущей силой Е. Как изменится разность потенциалов U₁ на пластинах первого конденсатора, если пространство между пластинами второго конденсатора, не отключая источника тока, заполнить диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ?

Дано: .

Найти: – ?

Решение: До заполнения второго конденсатора диэлектриком разность потенциалов на пластинах обоих конденсаторов была одинакова: . После заполнения электроемкость второго конденсатора возросла в ε раз: . Электроемкость первого не изменилась, т.е. .

Так как источник тока не отключался, общая разность потенциалов на батарее конденсаторов осталась прежней, она лишь перераспределилась между конденсаторами. На первом конденсаторе

, (1)

где q – заряд на пластинах конденсатора. Поскольку при последовательном соединении конденсаторов заряд на каждой пластине и на всей батарее одинаков, , где

Таким образом, . Подставив это выражение заряда в формулу (1), найдем .

Чтобы найти, как изменилась разность потенциалов на пластинах первого конденсатора, вычислим отношение: ; . Таким образом, разность потенциалов на пластинах первого конденсатора после заполнения второго конденсатора диэлектриком возросла в 1,75 раза.

Пример 9. Конденсатор емкостью был заряжен до разности потенциалов . После отключения от источника тока конденсатор соединили параллельно с другим незаряженным конденсатором емкостью . Какая энергия израсходуется на образование искры в момент присоединения второго конденсатора?

Дано:

Найти: – ?

Решение: Энергия, израсходованная на образование искры,

, (1)

где – энергия, которой первый конденсатор до присоединения к нему второго конденсатора; – энергия, которую имеет батарея, составленная из двух конденсаторов.

Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле (2), где С – емкость конденсатора или батареи конденсаторов. Выразив и аналогично формуле (2) и приняв во внимание, что общая емкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, получим

, (3)

где U₂ – разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов.

Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остался прежним, выразим разность потенциалов U₂ следующим образом:

(4)

Подставив выражение для U₂ в (3), найдем

, или

Произведем вычисления: .

Пример 10.Элемент с э.д.с. Е = 2,1В и внутренним сопротивлением соединен с реостатом. Определить силу тока в цепи и сопротивление реостата, если напряжение на зажимах элемента U = 2В. Какой длины надо взять для изготовления реостата железную проволоку, если площадь ее сечения S = 0,75мм²?

Дано:э.д.с. = Е = 2,1В; ; U = 2В; S = 0,75мм²=

Найти:l – ?

Решение: По закону Ома для замкнутой цепи сила тока

(1)

По закону Ома для участка цепи, состоящего из реостата, та же сила тока . (2). Решив совместно уравнение (1) и (2), получим:

; ;

;

Из формулы найдем длину железной проволоки: где – удельное сопротивление железа.

Пример 11. Определить сопротивление подводящих проводов источника с напряжением U = 120В, если при коротком замыкании предохранители из свинцовой проволоки площадью сечения и длиной плавятся за . Начальная температура предохранителя .

Дано:U = 120В; , ; ; .

Найти:R – ?

Решение: Количество теплоты, необходимое для нагревания свинца до точки плавления и последующего плавления свинца при этой температуре, Q₁ = ΔQ₁ + ΔQ₂. Так как ΔQ₁ = С m ΔT, ΔQ₂ = , , ΔT = Т_пл – Т,