Дослідження руху механізмів методом кінематичних діаграм

Якщо один з кінематичних параметрів механізму заданий у вигляді графіка чи таблиці значень, то в цьому випадку ефективними є графічні або чисельні методи диференціювання та інтегрування. Зазначимо, що при експериментальному дослідженні такі графіки викреслюються за допомогою самописних приладів.

Задачі дослідження закономірності зміни переміщень, швидкостей і прискорень за повний цикл (період) руху досліджуваного механізму простіше розв’язуються за допомогою кінематичних діаграм (графіків руху).

В практичних задачах ТММ кожна кінематична діаграма - це графічне зображення зміни одного з кінематичних параметрів ланки: переміщення, швидкості або прискорення як функції від часу або переміщення початкової ланки механізму (як функції від узагальненої координати). Наприклад, у випадку кривошипно-повзунного механізму для т.В повзуна (рис. 2.3) це залежності s_B(t), v_B(t), a_B(t) або s_B( ), v_B( ), a_B( ). Якщо дослідженню підлягає і-та ланка механізму, яка здійснює обертальний рух, то можна побудувати діаграми , або , .

Розглядуваний метод дозволяє при заданій будь-якій з цих діаграм без значних зусиль отримати інші. Методом кінематичних діаграм часто користуються для наочності та виявлення можливих помилок при обчисленні. Переваги цього методу – легкість і те, що результатом є наочне графічне зображення зміни одного з кінематичних параметрів руху від часу, чи узагальненої координати. Варто мати на увазі, що методи графічного диференціювання та інтегрування не завжди можуть забезпечувати достатню точність результатів.

Зазначимо, що до графічного диференціювання та інтегрування необхідно деколи звертатись навіть у тих випадках, коли кінематична функція задана аналітично, але не має достатньо простих формул для визначення похідної чи інтеграла.

Графічне диференціювання. Метод дотичних. Графічне диференціювання використовується, коли є графік функції, а потрібно отримати графік її похідної. Так, наприклад, побудовано графік переміщення повзуна кривошипно-повзунного механізму (рис. 2.3), а необхідно побудувати графіки швидкості, прискорення.

Розглянемо теоретичні основи графічного диференціювання. Використаємо відому залежність v= . Геометрично, похідна функції визначається тангенсом кута нахилу дотичної до графіка функції, проведеної у точці, абсциса якої є точка диференціювання,

Нехай крива АВ (рис. 2.4) є графік деякої функції . Проведемо дотичну до графіка у т.М₁, що відповідає заданій абсцисі .Відкладемо на осі абсцис вліво від початку прямокутної системи координат відрізок ОР (полюсну відстань), що дорівнює одиниці масштабу. З точки Р (полюса) проведемо пряму, паралельну дотичній до перетину з віссю ординат. Відрізок 01^// буде виражати значення похідної , при заданому значенні .

Проведемо з точки 1^// пряму, паралельну осі 0х, до перетину з ординатою т.М₁. Ордината точки перетину 1^/ і дає значення похідної при заданому значенні . Тобто, точка 1^/ буде точкою шуканої диференціальної кривої. У загальному випадку, ордината диференціальної кривої у будь-якій точці є відрізок, пропорційний до кута нахилу дотичної, що проведена у відповідній точці заданої кривої.

Таким чином, для того, щоб побудувати графік похідної за графіком функції, поділимо ділянку АВ, заданої кривої, на деяке число частин. Далі, розглянутим методом, неважко знайти у точках поділу заданої кривої значення похідної - тобто точки диференціальної кривої. З’єднавши отримані точки плавною кривою, дістанемо графік функції .

Рис. 2.4

Диференціювання методом дотичних має відносно низьку точність, оскільки досить складно проводити дотичні до кривих. Більшого поширення набув метод хорд, який є точнішим. Відмінність методу хорд полягає лише у тому, що значення похідної функції знаходять не у точках поділу кривої, а у точках, що ділять навпіл кожний з інтервалів (рис. 2.5, точки ). Перевагою є те, що при цьому замість дотичних беруться, як правило, з досить великою точністю, хорди, що з’єднують кінцеві точки кожного інтервалу. Метод ґрунтується на відомій теоремі про скінчений приріст функції: якщо функція, що задана графічно, та її перша похідна неперервні, то в будь-якому інтервалі хорда, що стягує дану дугу, паралельна дотичній до кривої, принаймні, в одній точці, яка лежить у середині цього інтервалу.

Зазначимо, що графік похідної буде точнішим при більшій кількості частин поділу кривої. Інтервали не обов’язково повинні бути рівними між собою; їх розмір вибирається з урахуванням того, щоб відповідні частини кривої менше відхилялись від прямої. Особливу увагу треба звернути на ділянки, де крива, яку диференціюють, має екстремуми; ділянки, у яких лінія значно звивається, слід розбивати на більше число частинок.

Масштаби при графічному диференціюванні. Припустимо, що задана крива (рис. 2.5) зображає діаграму переміщень, . Знаючи масштаб переміщень та масштаб часу, для будь-якої точки М(х,у) кривої можна записати , . Тоді

. (2.1)

Рис. 2.5

Підставимо в (2.1) та ,

де - відрізки 01^//, 02^//, 03^//,..., які зображають в масштабі швидкості у відповідних положеннях механізму; Н –полюсна відстань ОР. Тоді масштаб графіка швидкості можна визначити за формулою

,

або, в загальному випадку масштаб диференціальної кривої .

Послідовність диференціювання методом хорд. Задано діаграму переміщення кривошипно-повзунного механізму (рис. 2.6, а). Побудуємо діаграму швидкості:

- на заданій кривій відмічають ряд точок 1^/, 2^/, 3^/,…, які з’єднують хордами, тобто, замінюють задану криву ламаною лінією;

- під діаграмою переміщень будуємо нову систему координат так, щоб осі абсцис були паралельними, а ординат - лежали на одній прямій (рис. 2.6, б). Ділимо вісь абсцис на такі ж інтервали, як і на попередньому графіку;

- відкладаємо по осі абсцис ліворуч від початку системи координат довільний відрізок ОР₁ - полюсну відстань;

Рис. 2.6.

- з точки Р₁ проводимо промені Р₁1^//_, Р₁2^//, Р₁3^//,..., паралельні до відповідних хорд кривої переміщень. Ці промені відтинають на осі ординат відрізки 01^//, 02^//, 03^//,..., що пропорційні середній швидкості повзуна посередині відповідних інтервалів часу;

- перенесемо точки 01^//, 02^//, 03^//,..., на середини ординат відповідних ділянок. З’єднаємо точки 0, 1^/, 2^/,... плавною кривою. Отримана крива і буде діаграмою швидкості.

Маючи діаграму швидкості, аналогічно методом хорд будують, при потребі, діаграму прискорень (рис. 2.6, в).

Зазначимо, якщо діаграму переміщень задано у вигляді функції s_B( ) то в результаті графічного диференціювання отримуємо відповідно графіки кінематичних передатних функцій швидкості та прискорення (аналогів швидкості та прискорення).

Масштаби по осях ординат визначаються за формулами:

- для діаграм швидкостей та прискорень , ,

- для діаграм аналогів швидкостей та прискорень , ,

де Н₁, Н₂ –відрізки в мм, взято з креслення (рис. 2.6).

Масштаби по осях абсцис усіх графіків залишаються звичайно такими ж, як і на графіку переміщень.

Порівнюючи графіки (рис. 2.6), можна встановити такий зв’язок між кінематичними діаграмами:

- зростанню ординат кривої функції, що диференціюється, відповідають додатні значення ординат диференціальної кривої, а зменшенню – від’ємні значення;

- екстремальним значенням функції (максимуми та мінімуми) відповідають нульові значення графіка похідної.

- точкам перегину графіка функції відповідають екстремальні значення диференціальної кривої.

Графічне інтегрування. Побудову графіків швидкості за заданим графіком прискорень та графіків переміщень - за графіком швидкостей виконують так званими прийомами графічного інтегрування.

Існує декілька способів побудови інтегральної кривої: спосіб хорд, площ та інші.

Розглянемо спосіб хорд. Інтегрування – це дія, обернена диференціюванню. Відповідно послідовність графічного інтегрування за способом хорд обернена послідовності диференціювання за цим способом. Нехай заданим є графік функції швидкості v(t). Знайдемо графік функції переміщення s(t).