Соотношения упругости

В двух предыдущих главах рассматривались закономерности напряженного и деформированного состояний, отражающих две сто­роны одного и того же явления. Ре­зультаты механических испытаний материалов составляют основу физических уравнений, устанавливающих связь между напряжениями и деформациями.

Напряжения в упругом теле образуют физическое силовое по­ле, которое можно охарактеризовать некоторой потенциальной функцией (потенциалом), позволяющей выразить компоненты нап­ряжения в виде производных. Опыты показали, что для создания напряженного состояния необходимо затратить энергию, которая переходит во внутреннюю механическую энергию. Ее накопление связывают с работой внутренних сил.

На бесконечно малом этапе деформирования с приращениями
деформаций dε_х,…,dγ_zx работу внутренних сил можно вычис­лить как произве-

дение постоянной силы на путь с точностью до бесконечно малых второго порядка. Выделим из тела бесконечно малый параллелепипед с ребрами dx, dy, dz. Бесконечно малым площадкам можно приписывать постоянные напряжения и перемещения.

Работа внутренних продольных сил, которым соответствуют напряжения σ_x (рис. 5.6, а или рис. 5.6, б), вычисляется как про­изведение силы σ_хdydz на перемещение dε_xdx т.е. σ_хdε_xdxdydz. Аналогично вычисляется работа двух других продольных сил: σ_ydε_ydxdydz, σ_zdε_zdxdydz .

Работа внутренних сдвигающих сил, которым соответствуют напряжения τ_ху (рис. 5.7,а или 5.7,б), вычисляется как произве­дение силы τ_хуdydz на перемеще-ния dγ_xydx, т.е. τ_хуdγ_xydxdydz. Аналогично вычисляется работа двух других сдвигающих сил: τ_yzdγ_yzdxdydz, τ_zxdγ_zxdxdydz.

Элементарная удельная работа внутренних сил dũ (работа на бесконечно малом этапе деформирования, приходящаяся на единицу объема) есть сумма полученных величин работ, разделенная на объем бесконечно малого параллелепипеда dxdydz:

а а

б б

Рис. 5.6 Рис. 5.7

В упругом теле удельная работа внутренних сил не зависит от пути дости-жения того или иного деформированного состояния, а является функцией лишь окончательных значений деформации:

ũ=ũ(ε_x,ε_y,ε_z,γ_xy,γ_yz,γ_zx).

Приращение этой функции с точностью до бесконечно малых второго порядка можно заменить ее полным дифференциалом:

Сравнивая два выражения для dũ и учитывая независимость прира­щений деформаций, получаем соотношения:

которые позволяют считать ũ потенциалом. Эти соотношения называются формулами Грина (по имени английского ученого, впервые их получившего). Они применимы как для линейно-, так и для нелинейно-упругого тела при малых деформациях.

Предполагалось, что в недеформированном состоянии напря­жения равны нулю. После снятия нагрузки тело приходит в свое естественное недеформированное состояние и, следовательно, восстанавливает свою первоначальную форму. Происходит это за счет накопленной данным материалом потенциальной энергии де­формации, численно равной работе внутренних сил.

Вследствие этого удельная потенциальная энергия деформа­ции ū также должна рассматриваться как упругий потенциал поля напряжений. Следовательно,

Потенциал линейной теории деформирования представляется многочленом второй степени. Потенциал поля напряжений, представленный многочленом третьей степени по инвариантам тензора дефор-маций, соответствует квадратичной форме физичес-кого закона, т.е. физической нелинейности низшего порядка.

Введем в рассмотрение удельную дополнительную энергию (энергию напряжений), элементарная вели-чина которой

В геометрическом смысле энергия является

Рис. 5.8 дополнением энергии , поскольку вместе они составляют пря­моугольник, изображенный на рис. 5.8. При линейном физическом законе

Приращение этой функции можно заменить ее полным дифференциалом:

.

Соотношения

называются формулами Кастильяно.