Соотношения пластичности

При одноосном напряженном состоянии условие пластичности устанавли-вается опытным путем. В этом случае отлично от нуля только главное напря-жение σ₁ и пластические деформации появля­ются при σ₁ = σ_y. При чистом сдвиге условие пластичности, полу­чаемое также опытным путем, имеет вид τ = τ_y, где τ_y – предел текучести при чистом сдвиге.

В случае плоского или объемного напряженного состояния при бесконечном множестве соотношений между компонентами напряжений очевидность наступления пластичности исчезает. Остает­ся гипотетический путь с последующей экспериментальной про­веркой.

Появляющиеся с момента наступления текучести линии Людерса – Чернова согласуются с расположением наибольших деформаций сдвига. Это способ-ствовало утверждению критерия наибольших ка­сательных напряжений и соот-ветствующего условия пластичности Треска – Сен-Венана: пластические деформации возникают, когда максимальные касательные напряжения дости-гают величины предела текучести при чистом сдвиге (τ_max = τ_у).

Поскольку

τ_max = (σ₁ –σ₃) /2 ,

то, подставляя сюда главные напряжения при одноосном напряжен­ном состоянии (σ₁=σ_y , σ₃ = 0), получаем

τ_max = σ_y /2.

Сравнивая эту формулу с условием пластичности τ_max = τ_у ,

заключаем, что

τ_y = σ_y /2.

Условие пластичности Треска – Сен-Венана принимает вид

σ_red = σ₁ – σ₃ =σ_y ,

где: σ_red – приведенное напряжение. Его следует понимать как напряжение в условиях одноосного напряженного состояния, эквивалентное по своему эффекту напряжениям при плоском или объемном напряженном состоянии.

Связь напряженного состояния с накоплением потенциальной энергии деформации явилась предпосылкой энергетических крите­риев предельного состояния материала. Начало такого рода критериям положил в 1886г. итальянский ученый Э. Бельтрами, полагавший необходимость учета полной энергии деформации, что оказалось справедливым лишь при σ₀ > 0.

В 1904 г. М. Губер предложил в качестве критерия предельного состояния материала удельную энергию изменения формы. Р. Мизес и Г.Генки приняли ее для формулировки условия пластичности: пластическое состояние материала наступает, когда удельная энергия изменения формы становится равной такого рода энергии при одноосном растяжении образца в момент достижения предела текучести.

Выражение последней имеет вид

Следовательно, условие пластичности Губера – Мизеса – Генки имеет вид

или

По результатам оно достаточно близко к условию Треска-Сен-Венана. Эксперименты несколько лучше подтверждают условие Губера – Мизеса Ген-ки, которое, кроме того, менее громоздко с математической точки зрения (для определения τ_мax надо про­водить исследование главных напряжений).