Сечений
Иметь представление о физическом смысле и порядке определения осевых, центробежных и полярных моментов инерции, о главных центральных осях и главных центральных моментах инерции.
Знать формулы моментов инерции простейших сечений, способы вычисления моментов инерции при параллельном переносе осей.
Геометрическими характеристиками плоских сечений являются: площадь, положение центра тяжести, статические моменты плоских сечений, моменты инерции, моменты сопротивления и радиусы инерции.
Статическим моментом плоского сечения относительно оси, лежащей в плоскости сечения, называется взятая по всей площади сечения сумма произведений площадей элементарных площадок на их расстояния до этой оси:
SX =FYc SY = FXc
Осевым моментом инерции плоского сечения относительно данной оси называется взятая по всей площади сечения сумма произведений площадей элементарных площадок на квадраты их расстояний до этой оси.
Центробежным моментом инерции плоского сечения называется взятая по всей площади сечения сумма произведений площадей элементарных площадок на их расстояния до двух взаимно перпендикулярных осей.
Осевым моментом сопротивления симметричного сечения называется отношение осевого момента инерции к расстоянию от нейтральной оси до наиболее удаленной точки сечения:
WX = JX / Ymax , м3 (см3);
WY = JY / Zmax , м3 (см3);
1. Определяют положение центра тяжести сечения.
2. Проводят центральные оси для каждого профиля проката или простой геометрической фигуры. Эти оси называются центральными осями. Для первой фигуры проводят оси Х1 и Y1, для второй – Х2 и Y2 и т.д.
3. Проводят главные центральные оси. Они проходят через центр тяжести всего сечения. Одну из осей совмещают с осью симметрии, а вторую проводят через центр тяжести сечения перпендикулярно первой. Вертикальная ось обозначается Y, а горизонтальная - Х .
4. Находят моменты инерции сечения относительно главных центральных осей. В общем виде моменты инерции сечения определяют по формулам:
относительно оси Х JX = JX1 + JX2 + …. + JXn;
относительно Y JY = JY1 + JY2 + …. + JYn;
Моменты инерции простых фигур относительно осей X и Y определяются по формулам:
относительно оси Х JXn = JXnn + an2 An;
относительно Y JYn = JYnn + bn2 An;
где JX1, JX2, …, JXn, - моменты инерции простых фигур (1, 2, …, n) относительно собственных центральных осей X1, X2, … Xn.
При определении геометрических характеристик необходимо учитывать, что профили проката на заданном сечении могут быть ориентированы иначе, чем в ГОСТах. Например, вертикальная по ГОСТу ось Y на заданном сечении может оказаться горизонтальной, а горизонтальная ось X – вертикальной. Поэтому необходимо внимательно следить за тем относительно каких осей следует брать геометрические характеристики. На это будет обращено особое внимание в рассматриваемых примерах.
Пример 1.
Определить положение главных центральных осей и вычислить главные моменты инерции сечения.
Решение:
Чтобы найти положение главных центральных осей, необходимо определить положение центра тяжести сечения. В силу симметрии центр тяжести лежит на оси Y. Разобьем сечение на два элемента: двутавр и швеллер. О таблице ГОСТ 8239-56 принимаем для двутавра №24 площадь сечения F = 34,8 см2 и моменты инерции относительно собственных центральных осей JZ = 3460см4 и JY = 198 см4 . Переводим эти значения в единицы СИ:
F = 34,8 × 10-4 м2; JZ = 3460 × 10-8м4; и JY = 198 × 10-8 м4.
Аналогично принимаем из таблицы ГОСТ 8240-56 для швеллера №20 F = 23,4 см2, JZ = 1520см4, JY = 113 см4, Z0 = 2,07 см и d = 5,2 мм, что при переводе в единицы СИ будет:
F = 23,4 × 10-4 м2; JZ = 1520 × 10-8м4; и JY = 113 × 10-8 м4.
Проводим вспомогательную ось O1Z0 и определяем координату центра тяжести сечения по формуле:
YC = (F1Y1 + F2Y2) / (F1 + F2),
где
Y1 = 1/2h1 = 1/2 × 240 = 120 мм,
Y2 = h1 + d - Z0 = 240 + 5,2 - 20,7 = 224,5 мм,
или
Y2 » 22,4 × 10-2 м.
Подставляя числовые значения величин, получим:
YС = (34,8 × 10-4 × 12 × 10-2 + 23,4 × 10-4 × 22,4 × 10-2)/ (34,8 × 10-4 + 23,4 × 10-4)=
= 16,2 × 10-2 м, или YС = 162 мм.
Оси 0Z и OY являются главными центральными осями инерции. Момент инерции двутавра относительно оси 0Z определим по формуле:
J`Z = JZ1 + a21F1 = 3460 × 10-8 + (4,2 × 10-2)2 × 34,8 × 10-4 = 4070 × 10-8 м4.
Аналогично находим момент инерции швеллера относительно оси OZ:
J``Z = JZ2 + a22F2 = 113 × 10-8 + (10,45 × 10-2)2 × 23,4 × 10-4 = 2670 × 10-8 м4.
Главный момент инерции относительно оси OZ всего сечения:
JZ = J`Z + J``Z = 4070 × 10-8 + 2670 × 10-8 = 6740 × 10-8 м4.
Ось OY, являясь главной центральной осью составного сечения, является одновременно центральной осью двутавра и швеллера, поэтому главный момент инерции сечения JY будет равен сумме моментов инерции двутавра и швеллера относительно оси OY:
JY = J`Y + J``Y = 198 × 10-8 + 1520 × 10-8 = 1718 × 10-8 м4.
Дата добавления: 2015-05-28; просмотров: 1071;