Трехфазное короткое замыкание в неразветвленной цепи

Обратимся к рис. 3-1, на котором представлена простейшая симметричная трехфазная цепь. В ней условно принято, что на одном ее участке имеется взаимоиндук­ция между фазами, а на другом она отсутствует. Цепь присоединена к источнику синусоидального напряжения с неизменными амплитудой и частотой.

Рассмотрим переходный процесс, вызванный включе­нием выключателя В, за которым сделана закоротка, что равносильно возникновению металлического трех­фазного короткого замыкания между двумя участками данной цепи.

Пусть векторы , , , , , (рис. 3-2) характеризуют предшествующий режим рассматривае­мой цепи, а вертикаль tt является неподвижной линией времени, т. е. мгновенные значения отдельных величин определяются проекциями на эту линию соответствую­щих вращающихся векторов. Момент возникновения ко­роткого замыкания будем фиксировать значением угла а (т. е. фазой включения) между вектором напря­жения фазы А и горизонталью (рис. 3-2).

После включения выключателя В цепь рис. 3-1 рас­падается на два независимых друг от друга участка. Участок с и оказывается зашуитированным корот­ким замыканием и ток в нем будет поддерживаться лишь до тех пор, пока запасенная в индуктивности энергия магнитного потока не перейдет в тепло, погло­щаемое активным сопротивлением .

Дифференциальное уравнение равновесия в каждой фазе этого участка имеет вид:

. (3-1)

Его решение общеизвестно:

, сек. (3-2)

оно показывает, что здесь имеется лишь свободный ток. который затухает по экспоненте с постоянной времени

, сек. (3-3)

Начальное значение свободного тока в каждой фазе зашунтированного участка цепи, очевидно, равно пред­шествовавшему мгновенному значению тока, поскольку в цепи с индук­тивностью не может произойти внезапного (скачком) изменения тока. В общем случае свободные токи в фазах различны, хотя их затухание, разумеется, происходит с од­ной и той же постоянной времени. В одной из фаз свободный ток может во­обще отсутствовать, если в момент возникновения
короткого замыкания предшествовавший ток в этой фазе проходил через нуль; при этом свободные токи в двух других фазах будут одинаковы по величине, но противопо­ложны по направлению.

На рис. 3-3 слева приведены кривые изменения фаз­ных токов в зашунтированном участке рассматриваемой цепи, с учетом, что короткое замыкание произошло в мо­мент, отвечающий положению векторов на рис. 3-2.

Напомним, что подкасательная в любой точке экспоненты в принятом для оси времени масштабе дает значение постоянной времени, с которой происходит изменение экспоненты (рис. 3-3). Имея в виду, что при значение , постоянную обычно трактуют как время, в течение которого переменная величи­на снижается до 0,368 своего начального значения; при этом за на­чальную может быть принята любая точка кривой.

Перейдем теперь к участку цепи, который остался присоединенным к источнику. Здесь помимо свободного тока будет новый принужденный ток, величина которого, очевидно, больше предыдущего и сдвиг по фазе которого в общем случае иной. Допустим, что векторы , , (рис. 3-2) отвечают новому установившемуся режиму данного участка цепи.

Дифференциальное уравнение равновесия для любой фазы, например фазы А, этого участка

,

имея в виду, что , можно представить (опуская индекс фазы) как

, (3-la)

где — результирующая индуктивность фа­зы, т. е. индуктивность с учетом влияния двух других фаз.

Решение (3-1а) имеет вид:

, (3-2a)

где — полное сопротивление присоединенного к источ­нику участка цепи или, короче, цепи короткого замыкания; — угол сдвига тока в этой цепи; — постоянная времени цепи короткого замыкания, определяемая по (3-3), где вместо , , следует ввести , , .

Первый член правой части (3-2а) представляет пери­одическую слагающую тока, которая при рассматривае­мых условиях является принужденным током с постоянной амплитудой . Соответственно второй член представляет, как и раньше, затухающий по экспо­ненте свободный ток; его называют также апериодиче­ской слагающей тока. Начальное значение этой слагаю­щей определяется из начальных условий, т. е.

, (3-3)

откуда после подстановки соответствующих выражений имеем:

. (3-4)

Поскольку токи и являются проекциями векторов и на линию времени, то ток также можно рассматривать как проекцию вектора на ту же линию (рис. 3-2). В зависимости от фазы включения на­чальное значение тока может изменяться от возможной наибольшей величины, когда вектор параллелен линии времени, до нуля, когда этот вектор норма­лен к ней. В трехфазной системе такие частные условия, разумеется, могут быть лишь в одной из фаз.

На рис. 3-3 справа представлены кривые изменения токов в фазах рассматриваемого участка при трехфаз­ном коротком замыкании. Как видно, чем больше апе­риодическая слагающая тока, тем больше смещение кривой полного тока относительно оси времени. Эту сла­гающую можно рассматривать как криволинейную ось симметрии кривой полного тока, из которой ее легко вы­делить. Для этого нужно сначала провести огибающие по максимальным положительным и отрицательным зна­чениям заданной кривой тока (см. пунктирные линии у кривой тока фазы А на рис. 3-3). Каждая точка кри­вой апериодической слагающей лежит посредине верти­кального отрезка между этими огибающими.

Из (3-4) и рис. 3-2 следует, что наибольшее значение апериодической слагающей тока определяется не только фазой включения, но также предшествующим режимом цепи. Так, например, при отсутствии предшествующего тока в данной цепи величина может достигать амплитуды периодической слагающей, если в момент ко­роткого замыкания эта слагающая проходит через свой положительный или отрицательный максимум (рис. 3-4). Обычно этот случай рассматривается как расчетный.

Важно отметить, что фаза включения, при которой возникает наибольшее значение апериодической слагаю­щей, еще не предопределяет того, что именно три ней будет максимум мгновенного значения полного тока. В самом деле, из (3-2а) и (3-4) при отсутствии предше­ствующего тока следует, что полный ток в цепи короткого замыкания является функцией двух независи­мых переменных: времени t и фазы включения и вы­ражается уравнением

(3-5)

Приравняв нулю частные производные этого уравнения, т. е.

;

,

и совместно решив эти уравнения, найдем, что максимум тока наступает при

, т. е. при .

Следовательно, в предварительно разомкнутой цепи с r и L максимум мгновенного значения полного тока при коротком замыкании наступает, если в момент воз­никновения короткого напряжение источника проходит через нуль.

Для цепей с преобладающей индуктивностью , поэтому условие возникновения наибольшей апериодиче­ской слагающей и условие, при котором достигается максимум мгновенного значения полного тока очень близки друг к другу. Поэтому в практических расчетах максимальное мгновенное значение полного тока коротко­го замыкания, которое называют ударным током короткого замыкания , обычно находят при наибольшем значении апериодической слагающей (рис. 3-4), считая, что он наступает приблизительно через полпериода, что при f=50 Гц составляет около 0,01 сек с возникновения короткого замыкания.

Таким образом, выражение для ударного тока корот­кого замыкания можно записать в следующем виде:

(3-6)

где , (3-7)

который называют ударным коэффициентом, показывает превышение ударного тока над амплитудой периодической слагающей; его величина находится в пре­делах 1< <2, что соответствует предельным значениям , т. е. (при L_K=0) и (при r_к=0).

Естественно, чем меньше , тем быстрее затухает апериодическая слагающаяи тем соответственно меньше ударный коэффициент. Влияние этой слагающей сказы­вается лишь в начальной стадии переходного процесса; в сетях и установках высокого напряжения она практи­чески исчезает спустя 0,1—0,3 сек, а в установках низко­го напряжения она практически совсем незаметна.

Еще раз подчеркнем, что апериодические слагающие токов в фазах различны. Поэтому определение трехфаз­ного короткого замыкания как симметричного, строго говоря, справедливо применительно к периодическим слагающим фазных токов.