магнитострикционным методом

Измерение модуля упругости твердых тел

3.1. Упругие свойства твердых тел

Модуль упругости (модуль Юнга) является одной из важнейших харак­теристик механических свойств твердых тел, его величина определяет способность тела подвергаться упругой деформации, сжатию или растяже­нию под воздействием внешних усилий.

Деформация тел - это изменение его формы и размеров под дейст­вием внешних сил. Если после прекращения действия внешних сил прежние размеры и форма тела восстанавливаются, то такую деформацию называют упругой, в противном случае - пластической. Обычно при приложении к телу внешних сил сначала наблюдается упругая деформация, а затем, по мере роста этих сил, она может перейти в пластическую.

Твердые тела сопротив­ляются внешним воздей­ствиям. Это связано с тем, что частицы (атомы, ионы, молекулы), из которых тела построены, взаимодействуют между собой. Устойчивая структура твердого тела объяс­няется действием как сил притяжения, препятствующих удалению частиц друг от друга, так и сил отталкивания, не позволяющих частицам слить­ся друг с другом. Природа этих сил может быть разной, но в ее основе лежит электромагнитное взаимодействие - взаимодействие электричес­ких и магнитных полей, образован­ных заряженными частицами (ионами, электронами, ядрами атомов).

На рис. 1 между кривыми притяжения и отталки­вания показана результирующая сила взаимодействия частиц. Расстояние отвечает равен­ству сил притя­жения и сил отталкивания. Обычно на таком расстоянии располагаются друг от друга частицы в твердых телах. Независимо от природы сил, характер зависимости их от расстояния между частицами сохраняется одинаковым (рис. 1). На относительно боль­ших расстояниях (r > r_o) преобладают силы притяжения, быстро увели­чивающиеся с уменьшением расстоя­ния; при малых расстояниях (r < r_o) преобладают силы отталкивания, тоже увеличивающиеся с уменьшением рас­стояния, но значительно быстрее, чем силы притяжения. В результате приложения к телу растягивающих сил частицы раз­дви­­гаются, силы притяжения становятся больше сил оттал­кивания. Они и возвращают частицы в положение равно­весия ( r = r_o) после прекращения действия внешних сил. Сжимающие внешние силы делают расстояние между частицами меньше равновесного, при этом силы отталкивания превосходят по величине силы притяжения, и возвращают части­цы в положение равновесия после снятия нагрузки.

Зависимость результирующей силы взаимодействия между частицами от расстояния имеет сложный вид, но при небольших деформациях (учас­ток на рис.1) эта зависимость близка к линейной. Здесь величина силы пропорциональна расстоянию между частицами. Поэтому при малых деформациях справедлив закон Гука:

,

(1)

где - коэффициент упругости, зависящий от природы твердого тела и его размеров, Δl - абсолютное изменение длины стержня. Знак минус указывает на то, что сила всегда направле­на к положению равновесия (противоположно направлению деформаций). При приложении внешних сил внутренние силы равны им по величине и направлены в противоположную сторону.

Для исключения влияния размеров тела в закон Гука вводят понятия

относительной деформации ,	(2)
и нормального напряжения ,	(3)

где - исходный размер тела в направлении деформации;

- площадь поперечного сечения деформируемого тела.

Тогда выражение (1) запишется так:

.

(4)

где - модуль упругости.

Следовательно, нормальные напряжения в деформируемом теле пропорциональны его относительной деформации.

Модуль упругости зависит только от природы частиц, образующих тело, и от их взаимного расположения. Эта важнейшая упругая характе­ристика весьма мало чувствительна к изменению состава (примеси) или внутренней структуры твердого тела (термическая обработка). Для моно­кристаллических твердых тел модуль упругости зависит от направления.

3.2. Измерение модуля упругости с помощью магнитострикции

Методом магнитострикции возбуждают в металлическом стержне упру­гие колебания, они распространяются в виде продольных волн вдоль стержня, доходят до его концов, отражаются и идут в обратном направ­лении. Отраженные волны интерферируют с прямыми и образуют стоячую волну. Скорость распространения таких волн в твердых телах связана с модулем упругости тела. Определяя эту скорость по резонансной час­тоте колебаний, возможно рассчитать модуль упругости.

Скорость распространения упругих продольных волн υ в твер­дых телах определяется выражением

,

(5)

где - модуль упругости; - плотность тела.

С другой стороны, длина волны λ связана со скоростью ее рас­пространения уравнением

.

(6)

Здесь - частота колебаний.

Совместное решение уравнений (5) и (6) приводит к выражению

.

(7)

Если стержень закрепить посередине и возбудить в нем чередованием деформа­ций растяжения и сжатия продольные (направленные вдоль стержня) упругие колебания, то в таком стержне установятся стоячие волны (рис. 2) как результат интерференции прямой и отраженной от конца стержня волн. Для стоячей волны харак­терна различная амплитуда колебаний частиц (в зависимости от их расположе­ния). Точки с амплитудой, равной нулю, называют узлами (У), а с максимальной амплитудой - пучностями (П). Обычно в точках закрепления образуются узлы, а на свободных концах - пучности.

Так как в стоячих волнах расстоя­ние между узлом и пучностью равно чет­верти длины волны (λ/4), то в простейшем случае, (рис. 2, а) в колеблю­щемся стержне образуется один узел (посередине) и две пучности (на кон­цах). На рис. 2 по вертикали отложена амплитуда колебаний A. В другом случае могут образоваться три узла и четыре пучности (рис.2, б) либо пять узлов и шесть пучностей и т.д.

Обобщая, можно сказать, что по длине стержня должно уклады­ваться нечетное число полуволн:

(8)

где - целое число, принимающее значения = 0,1,2,3..., т.е. в стержне могут возникать стоячие волны с длиной, удовлетворяющей условию (8).

С учетом условия (6) выражение (7) перепишется в виде:

(9)

При = 0 говорят об основном тоне колебаний, при = 1,2,3,4...- об обертонах колебаний. В данной работе определяют основной тон ( = 0). Выражение для расчета модуля упругости запишется так:

(10)

Колебания в стержне возбуждаются методом магнитострикции. Это явление состоит в изменении размеров тела в направлении намагничива­ния (тела в магнитном поле могут как сжиматься, так и удлиняться). Количественно магнитострикция характеризуется относительным удлине­нием тела ( ) в магнитном поле. Оно невелико и колеблется в пре­делах . Свойством магнитострикции обладают все тела, но у ферромагнетиков оно выражено более заметно.

Магнитострикция связана с изменением сил взаимодействия между частицами твердого тела при помещении его во внешнее магнитное поле (меняется расстояние между частицами, отвечающее равенству сил притя­жения и отталкивания). Для возбуждения колебаний в стержне его поме­щают в переменное магнитное поле катушки, питаемой переменным током звуковой или ультразвуковой частоты. Так как магнитострикция является четным эффектом (не чувствительным к перемене поля на обратное), то колебания имеют удвоенную частоту по сравнению с частотой переменного тока. Но если на переменное магнит­ное поле наложить постоянное (чтобы напряженность результирующего поля не меняла знака), то частоты магнитострикционных колебаний и переменного тока будут совпадать. Такое поле создается дополнитель­ной катушкой (подмагничивающей).

Колебания, возбуждаемые в стержне магнитострикционным методом, будут вынужденными. Как известно, для вынужденных колебаний характер­но явление механического резонанса, когда амплитуда колебаний резко возрастает. Это явление имеет место, когда частота вынужденных колеба­ний оказывается весьма близкой к частоте собственных колебаний, кото­рая удовлетворяет условию (8). Резонансную частоту определяют по резкому уве­личению амплитуды колебаний, которая входит в выражение (10) для опре­деления модуля упругости.

4. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДИКИ ИЗМЕРЕНИЯ

На рис. 3 приведена принципиальная схема установки для определе­ния модуля упругости. Исследуемый стержень 1 закрепляется посередине зажимом 2. На стержень надеты две катушки: катушка 3, создающая пере­менное магнитное поле в стержне и питаемая переменным током звуковой частоты от генератора звуковых сигналов 4, и катушка 5, создающая подмагничивающее поле, и питаемая от источника постоянного тока 6. Воз­никающие в стержне продольные механические колебания воспринимаются динамическим микрофоном 7, слегка прижатым к одному из концов стержня, и превращаются в электромагнитные колебания. Электромагнитные колебания посту­пают на вертикально отклоняющие пластины осциллографа 8. На горизонтально отклоня­ющие пластины с помощью задающего генератора ос­циллог­рафа подается перемен­ный сигнал, заставля­ющий электронный луч на экране описывать горизонтальную линию. Переменный сигнал, подавае­мый на вертикально отклоняющие пластины, заставляет луч рисовать на экране синусоиду.

Меняя (с помощью регулятора частоты) частоту переменного магнит­ного поля, достигают выполнения условия механического резонанса. Он фикси­рует­ся по скачкообраз­ному возрастанию амплитуды колебаний (увели­чение отклонения луча по вертикали). Резонансная частота входит в рас­четную формулу (10). Согласно (9) таких резонансных частот будет нес­колько ( = 0,1,2,3...). Необходимо определить частоту основного тона ( = 0). Это несложно сделать, потому что она отвечает наиболь­шей амплитуде; у обертонов ( = 1,2,3...) резонансные амплитуды будут значительно меньше по величине.

5. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ И ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ

Приборы и принадлежности: установка для определения модуля упру­гости, три стальных стержня разной длины, генератор звуковых сигналов, ос­циллограф.

Расчетная формула

где - модуль упругости; - плотность стержня; - длина стержня; - резонансная частота (основной тон).

1) Соберите электрическую цепь, не замыкая подмагничивающую обмотку (ключ "К" разомкнут).

2) Проверьте начальное положение переключателей на звуковом ге­нераторе 4 и осциллографе 8 согласно настольному руководству (см. рис. 3).

3) Запишите в табл. 5.1 средние значения длин ‹l› стержней, приведенные на установке. Рядом запишите среднеквадра­тичные ошибки для длин. При отсутствии этих данных выполните измерение длин. Запишите значение средней плотности ‹ρ› стали.

4) Поместите один из исследуемых стержней в установку так, чтобы его конец был слегка прижат к динамическому микрофону. Закрепите стер­жень в середине зажимом 2.

5) Включите звуковой генератор и осциллограф в сеть на 220 В и поставьте тумблеры "сеть" в положение "включение". Дайте прогреться приборам 3 мин.

6) Регуляторами осциллографа "яркость" и "фокус" добейтесь появ­­ления резкого электронного луча на экране электронно-лучевой трубки. Луч при этом рисует горизонтальную линию. Выведите эту линию на середину трубки с помощью регуляторов "ось-Х" и "ось-У".

7) Подайте на катушку 3, создающую переменное магнитное поле, напряжение 50 В с помощью переключателя звукового генератора "регуля­тор выхода". В дальнейшем при всех измерениях следите за постоянством этого напряжения.

8) Включите подмагничивающую обмотку (замкните ключ "К").

9) Регулятором звукового генератора "частота", плавно увеличивая частоту от 2000 до 20000 Гц, пройдите весь диапазон частот. При этом внимательно следите за электронным лучом на экране осциллографа. Луч описывает синусоиды. Амплитуда отклонений луча по вертикали будет меняться: от почти незаметной до заметной. Определите резонансную часто­ту основного тона. Она характеризуется резким наибольшим отклонением электронного луча по вертикали. Запишите в табл. 5.2 значение резонанс­ной частоты.

10) Сдвиньте регулятор "частота" и снова подведите его в положе­ние, соответствующее максимальной амплитуде. Запишите значение резо­нансной частоты. Таких измерений сделайте три для каждого стержня.

11) Поочередно замените исследованный стержень другими и повторите все изме­рения по пп. 7-10 для них, записывая частоты в таблицу 1.

Таблица 1. Результаты измерений и вычислений

‹ρ› =

12) Тумблеры "сеть" на приборах поставьте в положение "выключено", отсоедините их от источника питания. Разомкните (ключом "К") подмагничивающую обмотку.

13) Рассчитайте средние значения модулей упругости для каждого из стержней. Перенесите их средние значения в таблицу 2.

Таблица 2.

14) Определите выборочное среднее модуля упругости стали по данным таблицы 2. Задавшись доверительной вероятностью Р_α рассчитайте доверительный интервал (как для прямых измерений).

Результат должен быть записан в виде Е=‹E› ±∆Е с указанием доверительной вероятности Р_α.