Перетинання лучачи із площиною й сферою
Пряма на площині й у просторі є нескінченною в обидва боки. Променем називається напівпряма, тобто безліч всіх крапок прямій, що лежать по одну сторону від заданої її крапки, називаної початком лучачи. Промінь будемо задавати в параметричному виді, як це було описано в одному з попередніх розділів. Нехай - напрямний вектор прямій, а - початкова крапка. Тоді координати крапок лучачи будуть визначатися формулами
(4.8) |
Будемо вважати, що напрямний вектор одиничний, тобто .
Спочатку розглянемо завдання про знаходження крапки перетинання лучачи із площиною, заданої канонічними рівнянням
(4.9) |
Вектор нормалі теж будемо вважати одиничним. Спочатку треба визначити значення параметра t, при якому промінь перетинає площина. Для цього підставимо координати з формули (4.8) у рівняння (4.9) і одержимо
звідки легко визначити, що промінь перетинає площина в крапці зі значенням
Очевидно, що така крапка існує тільки за умови . У свою чергу, ця величина звертається в нуль тільки у випадку, коли вектори й ортогональні один одному.
Нехай тепер нам задана сфера із центром у крапці й радіусом . Тоді рівняння сфери буде мати вигляд
Підставивши сюди координати лучачи з рівняння (4.9), одержимо, що параметр, при якому промінь перетинає сферу, повинен задовольняти квадратному рівнянню
де . Визначимо корінь цього рівняння. Якщо дискримінант , то корінь існують. Їх може бути або два , або один . У першому випадку маємо дві крапки перетинання, у другому - одну (промінь стосується сфери). Відповідні значення параметра визначаються співвідношенням
Дата добавления: 2015-04-03; просмотров: 923;