Равновесие жидкости в поле земного тяготения

В качестве объемной силы в поле земного тяготения выступает сила тяжести. Полное ускорение объемных сил равно ускорению свободного падения g = 9,81 м/c².

В выбранной системе координат проекции единичной объемной силы на оси Ox, Oy и Oz будут следующими:

.

Знак «минус» в ускорении свободного падения соответствует направлению силы тяжести в отрицательную сторону оси Oz.

Подставляя значения X, Y, Z в уравнение поверхности уровня, получим

и следовательно,

,

где с – произвольная постоянная.

Таким образом, поверхностью уровня (поверхность равного дав­ления) в однородной покоящейся жидкости будет любая горизонтальная плоскость, в том числе и свободная поверхность, независимо от формы сосуда или водоема. Горизонтальной плоскостью будет также граница раздела двух несмешивающихся жидкостей (рисунок 2.4).

Рисунок 2.4 – Поверхность равного давления

Давление в точке А равно давлению в точке В, так как обе точки лежат на одной и той же поверхности уровня (поверхности равного давления).

2.5Основное уравнение гидростатики

Рассмотрим случай равновесия жидкости, когда на неё действует одна сила тяжести, и получим уравнение, позволяющее находить гидростатическое давление в любой точке рассматриваемого объёма жидкости. Пусть жидкость находится в сосуде (рисунок 2.5) и на её свободную поверхность действует давление р₀. Найдём гидростатическое давление р в произвольно взятой точке М, расположенной на глубине h.

Выделим около точки М элементарную горизонтальную площадку dS и построим на ней вертикальный цилиндрический объём высотой h. Рассмотрим условия равновесия указанного объёма жидкости, выделенного из общего объёма. Давление жидкости на нижнее основание цилиндра теперь будет внешним и направлено по нормали внутрь объёма, т.е. вверх.

Рисунок 2.5 – Схема для вывода основного уравнения гидростатики

Запишем сумму сил, действующих на рассматриваемый объём в проекции на вертикаль

.

Последний член уравнения представляет собой вес жидкости в указанном объёме. Сократив выражение на dS и перегруппировав члены, найдём

Полученное уравнение называют основным уравнением гидростатики; по нему можно подсчитывать давление в любой точке покоящейся жидкости.

2.6Закон Паскаля и его технические применение

Из основного уравнения гидростатики видно, что на сколько увеличивается давление на свободной поверхности р₀, на столько же увеличивается и абсолютное давление в точке жидкости, т. е.внешнее давление р₀, приложенное к жидкости в замкнутом сосуде, передается внутри жидкости во все точки без изменения. В этом и заключается закон Паскаля. На его использовании основано действие простейших гидравлических машин: гидравлических прессов, домкратов, подъемников, аккумуляторов, мультипликаторов (повышающих давления) и др.

Гидравлический пресс (рисунок 2.6, а) является одной из наиболее распространенных гидравлических машин и применяется для обработки материалов давлением. Если к поршню площадью S₁, двигающемуся в малом цилиндре А, приложить силу Р₁, то жидкость получит добавочное давление p₁ = P₁/ S₁.

а) б)

Рисунок 2.6 - Гидравлический пресс (а), гидравлический аккумулятор (б).

По закону Паскаля это давление распространится во всей жидкости без изменения и передастся на поршень большей площади S₂, двигающийся внутри цилиндра В. Величина усилия, с которым поршень в цилиндре В будет двигаться вверх, составит

Таким образом, сила Р₂ во столько раз больше силы Р₁, во сколько раз площадь поршня в цилиндре В больше площади поршня в цилиндре А. В действительности вследствие трения в цилиндрах сила Р₂ будет несколько меньше. Влияние трения учитывается введением в формулу коэффициента полезного действия .

Давление рабочей жидкости (обычно это масло) в гидравлических прессах создается насосом и составляет 20...30 МПа (200... 300 кгс/см²). Однако в отдельных случаях, например для синтеза алмазов, оно достигает 450 МПа (4500 кгс/см²). Наиболее мощные гидравлические прессы для объемной штамповки развивают усилие 735 МН (примерно 75 000 т).

На принципе гидравлического пресса основано устройство гидравлических домкратов и подъемников, используемых для подъема грузов.

Гидравлический аккумулятор (рисунок 2.6, б) состоит из рабочего цилиндра 1, в котором движется массивный плунжер 2 площадью сечения S₁. К плунжеру при помощи коромысла 3 подвешены грузы 4. В рабочий цилиндр 1 по трубопроводу 5 подается вода или масло. Под действием давления жидкости плунжер 2 в цилиндре движется вверх. Если обозначим вес плунжера с грузами G, а высоту поднятия h, то запас потенциальной энергии аккумулятора составит Gh. Открытием крана на трубопроводе 6 (при закрытом кране трубопровода 5) сжатая в аккумуляторе жидкость может быть направлена к рабочей машине (например, гидравлическому домкрату, подъемнику и т. п.), где за счет запаса потенциальной энергии будет совершена полезная работа.

Давление жидкости, необходимое для зарядки аккумулятора, должно быть

p₁ = G/ S₁,

а рабочее давление при разрядке

р₂ =η∙p₁,

где η<1 – КПД гидравлического аккумулятора, учитывающий потери давления за счет трения.

2.7Абсолютное и избыточное давления. Вакуум

Рассмотрим случай, когда давление в сосуде р₀ > р_атм. Простейшим прибором жидкостного типа для измерения величины гидростатического давления является пьезометр, который представляет собой стеклянную трубку небольшого диаметра, открытую с одного конца и вторым концом присоединенную к сосуду, в котором необходимо измерить давление (рисунок 2.7).

Рисунок 2.7 – Схема к определению избыточного давления

Давление р₀, определенное с учетом атмосферного давления, называется абсолютным давлением .

Давление р₀, действующее на свободной поверхности жидкости в сосуде, превышает атмосферное давление на величину .Это давление называется избыточным давлением

Недостаток до атмосферного давления называется вакуумметрическим давлением

или .

Взаимосвязь между абсолютным, избыточным и вакуумметрическим давлением изображена на рисунке 2.8.

Рисунок 2.8 - Взаимосвязь между давлением:

а) – абсолютным и избыточным; б) абсолютным и вакуумметрическим

2.8Приборы для измерения давления

Для измерения давления жидкости или газа применяются различные приборы:

ü манометры — для измерения избыточного (или манометрического) давления,

ü вакуумметры — для измерения вакуума,

ü дифференциальные манометры — для измерения разности (перепада) давлений в двух точках (например, в двух сосудах).

Эти приборы могут быть:

ü жидкостными,

ü пружинными,

ü поршневыми,

ü электрическими,

ü комбинированными.

Наиболее широкое распространение получили жидкостные и пружинные приборы.

Рисунок 2.9 - Пьезометр

Жидкостный манометр (рисунок 2.9) — пьезометр представляет собой стеклянную трубку, нижний конец которой соединен с точкой, где измеряется давление, а верхний открыт и сообщается с атмосферой. Если давление на свободной поверхности жидкости в закрытом сосуде больше атмосферного, то уровень в пьезометрической трубке поднимется на высоту h_р, называемую пьезометрической высотой. Ее измерение производится по установленной строго вертикально линейной шкале. Высоту столба жидкости в пьезометре h_p можно найти из условия равновесия жидкости. Абсолютное давление в точке А (точка подключения пьезометра к сосуду) со стороны жидкости в пьезометре может быть выражено следующим образом

Таким образом, по высоте столба жидкости в пьезометре с открытым верхним концом можно определить величину избыточного давления в сосуде на уровне точки подключения.

Для точки A, находящейся под свободной поверхностью в сосуде на глубине h абсолютное давление равно

где р₀ — давление на свободной поверхности в сосуде.

На основании второго свойства гидростатического давления в точке А давления со стороны жидкости в сосуде и в пьезометре равны. Тогда обозначив h_p - h=h₀ (рисунок 2.9), получим

.

Из этого выражения следует, что разность высот уровней в пьезометре и сосуде характеризует избыточное давление на свободной поверхности жидкости в сосуде.

Если в сосуде абсолютное давление над свободной поверхностью будет равно атмосферному (сосуд открытый), то уровень в пьезометре установится на той же высоте, что и в сосуде, и h_p=h. Это явление, называемое законом сообщающихся сосудов, используется для измерения уровня жидкости в сосудах при помощи уровнемеров или водомерных стекол.

Для измерения небольших давлений (не более 0,15...0,20 ати) применяются пьезометры, наполненные водой, для больших давлений, но не свыше 2,0...2,5 ати (0,2...0,25 МПа) — пьезометры, наполненные ртутью, так называемые ртутные манометры.

Рисунок 2.10 - Микроманометр с наклонной шкалой (а), пружинный манометр (б)

Для увеличения точности при измерении малых давлений используется наклонный микроманометр (рисунок 2.10, а). По его шкале вместо величины h_p отсчитывается значительно большая величина , что уменьшает относительную ошибку, возможную при измерении малых величин. Угол наклона манометрической трубки α можно изменять, при этом уменьшение угла наклона способствует увеличению точности измерений.

Для измерений значительных величин избыточных давлений в жидкостях или газах в практике используются металлические манометры. В пружинном манометре (рисунок 2.10, б) жидкость или газ поступает через штуцер 1 в изогнутую медную или стальную полую трубку-пружину 2. Под действием избыточного давления трубка-пружина стремится разогнуться. Движение ее конца при помощи пластинки 3 передается на зубчатку, приводящую в движение стрелку 4, отклонение которой показывает на шкале прибора величину избыточного (манометрического) давления.

Рисунок 2.11 - Вакуумметр (а), дифференциальный U-образный манометр (б)

Для измерения вакуума применяется обратный пьезометр или вакуумметр (рисунок 2.11, а), представляющий собой трубку 1, соединенную с областью вакуума (сосуд 2). Нижний конец трубки опускается в сосуд 3, заполненный жидкостью, свободная поверхность которой находится под атмосферным давлением.

Для точки А, находящейся в жидкости в трубке 1 на уровне свободной поверхности в сосуде 3, можно записать, используя основное уравнение гидростатики и второе свойство гидростатического давления, следующее равенство

откуда следует, что вакуумметрическая высота, т. е. высота поднятия жидкости в вакуумметре (рисунок 2.11, а), составит

.

Для измерения вакуума применяются и металлические вакуумметры, устройство которых аналогично металлическим манометрам. Кроме того, в технике используются мановакуумметры — приборы, одна часть шкалы которых показывает манометрическое (избыточное) давление, а другая — вакуум.

Для измерения перепада (разности) давлений в двух точках используются дифференциальные манометры, простейшим из которых является U-образный манометр (рисунок 2.11, б). Разность давлений Δр в сосудах А и В с одной и той же жидкостью (плотностью ρ), находящихся на одинаковой высоте (или в двух трубопроводах, а также в двух сечениях одного трубопровода, отстоящих друг от друга на некотором расстоянии), определяется по разности уровней h рабочей жидкости (плотностью ρ_р) в обоих коленах дифманометра и вычисляется по зависимости

При больших разностях давлений в качестве рабочей жидкости применяется ртуть, при небольших — масло, спирт и др.

2.9Силы давления жидкости на плоскую стенку

Используем основное уравнение гидростатики для определения полной силы давления жидкости на плоскую стенку, наклонную к горизонту под некоторым углом α (рисунок 2.12). Вычислим силу F, действующую со стороны жидкости на некоторый участок рассматриваемой стенки, ограниченный произвольным контуром и имеющий площадь, равную S.

Выразим элементарную силу давления, приложенную к бесконечно малой площадке dS

,

где р₀ - давление на свободной поверхности; h - глубина расположения площадки dS.

Рисунок 2.12 – Схема для определения силы давления жидкости на плоскую стенку

Для получения полной силы F проинтегрируем полученное выражение по всей площади S

,

где y- координата площадки dS.

Последний интеграл представляет собой статический момент площадки S относительно оси OX и равен произведению этой площади на координату её центра тяжести (точка C), т.е.

,

где - статический момент площади S относительно линии пересечения свободной поверхности жидкости с плоскостью стенки (OX).

Следовательно

,

где h_c - глубина расположения центра тяжести площади S.

Или

,

Т.е. полная сила давления жидкости на плоскую стенку равна произведению площади стенки на гидростатическое давление p_c в центре тяжести этой площади.

В общем случае давление р₀ существенно отличается от атмосферного, поэтому полную силу давления можно найти как

,

где F₀ - сила от внешнего давления;

F_ж - сила давления от веса жидкости.

Положение центра давления. Центр давления силы F₀ будет совпадать с центром тяжести фигуры, т.к. поверхностное давление, передаваясь через жидкость, равномерно распределяется по рассматриваемой площадке.

Избыточное давление распределяется неравномерно по площадке фигуры, поэтому центр давления F_ж будет лежать ниже центра тяжести.

Центр давления F_ж ,

где J_c - момент инерции площади S относительно центральной оси параллельной оси OX;

y_с – координата центра тяжести фигуры.

Глубина погружения центра тяжести площади фигуры

.

Равнодействующая сила (полная сила давления) является геометрической суммой сил F₀ и F_ж. Следовательно, точка приложения этой силы будет лежать между центром тяжести и центром давления точкой .