Закон сохранения и превращения энергии
Закон сохранения и превращения энергии в механике
В 1748 году М.В. Ломоносов впервые сформулировал закон сохранения и превращения энергии. Спустя сто лет Р. Майер и Г. Гельмгольц дали количественную формулировку закона сохранения и превращения энергии, который состоит в следующем: в замкнутой системе энергия может переходить из одних видов в другие и передаваться от одного тела к другому, но ее общее количество остается неизменным.
Найдем условие, которому должна удовлетворять система тел для того, чтобы ее полная механическая энергия не изменялась с течением времени. Если 
- скорость i –ой материальной точки системы массой mi, то ее кинетическая энергия может быть представлена в виде: 
Изменение этой энергии за малый промежуток времени dt, связанное с изменением скорости 
на 
( 
- ускорение i-ой материальной точки), равно
dWki =Wki(t2)-Wki(t1),
где 
С учетом того, что 
- величина второго порядка малости, можно получить:
| (3.3.1,а) |
где 
- приращение радиуса-вектора 
материальной точки. По второму закону Ньютона 
где 
и 
- результирующие консервативных и неконсервативных сил, соответственно, действующих на i-ую материальную точку. Поэтому
| (3.3.1,б) |
Кинетическая энергия всей системы равна сумме кинетических энергий всех материальных точек, образующих эту систему, а ее изменение за малый промежуток времени dt:
или 
Первая сумма в правой части последнего выражения представляет собой суммарную работу 
, совершаемую всеми консервативными силами за промежуток времени dt. Согласно уравнению (3.2.6,б), работа равна убыли потенциальной энергии системы за время dt, то есть 
Вторая сумма в вышеприведенном выражении представляет собой работу, совершаемую всеми неконсервативными силами: 
Таким образом,
| (3.3.2,а) |
или
| (3.3.2,б) |
где W = Wк + Wп - полная механическая энергия системы (3.2.10).
Консервативной системой называют систему тел (материальных точек), внутренние силы взаимодействия между которыми – консервативны, а все внешние силы – стационарны (стационарные силы – силы, которые могут изменяться с течением времени только вследствие изменения положения системы отсчета) и консервативны. Для консервативной системы работа неконсервативных сил равна нулю 
и, как следствие, W = Wк + Wп = const, то есть полная механическая энергия консервативной системы не изменяется с течением времени – закон сохранения механической энергии. Вышеуказанный закон справедлив, в частности, для замкнутой консервативной системы, то есть системы, на которую внешние силы вообще не действуют, а все внутренние силы – консервативны.
 |
Рассмотрим применение закона сохранения механической энергии при расчете абсолютно упругого прямого удара двух тел (рис. 3.7.).
Абсолютно упругим ударом называют такой удар, в результате которого не происходит превращения механической энергии системы соударяющихся тел в другие виды энергии.
Пусть два абсолютно упругих шара массами m1 и m2 до удара движутся поступательно со скоростями 
и 
, направленными в одну и ту же сторону вдоль линии их центров, причем > . Задача: Необходимо определить скорости шаров после соударения: 
и 
.
В процессе удара систему соударяющихся тел можно считать замкнутой. При абсолютно упругом ударе система консервативна. В этом случае для решения задачи можно использовать законы сохранения механической энергии и импульса. Перед ударом и после него тела не деформированы, то есть потенциальную энергию системы в этих двух состояниях можно считать одинаковой и равной нулю. Следовательно,
| (3.3.3) |
и
| (3.3.4,а) |
При прямом центральном ударе векторы скоростей шаров до и после удара направлены вдоль одной прямой – линии удара. Поэтому (3.3.4,а) можно переписать в виде:
| m1×v1 + m2×v2 = m1×u1 + m2×u2, | (3.3.4,б) |
где v1, v2, u1 и u2 – проекции векторов 
и на ось координат, параллельную линии удара. После несложных преобразований уравнений (3.3.3) и (3.3.4,б) можно получить:
| (3.3.5) |
Следует помнить, что в (3.3.5) скорости v1 и v2 могут иметь как одинаковые, так и противоположные знаки, в зависимости от направления векторов и 
Рассмотрим некоторые частные случаи:
1) массы шаров одинаковы (m1 = m2 = m). При этом u1 = v2, u2 = v1, то есть при ударе шары обмениваются скоростями;
2) масса второго шара во много раз больше массы первого (m2 » m1). В этом случае u1 @ 2v2 - v1; u2 = v2. Если при этом второй шар до удара был неподвижен, то u1 = - v1 u2 = 0, то есть первый шар отскакивает от неподвижного второго шара и движется в обратную сторону со скоростью 
Дата добавления: 2015-04-19; просмотров: 681;