Энергия кинетическая и потенциальная

Кинетическая энергия поступательно движущегося тела

В механике различают два вида энергии: кинетическую и потенциальную. Кинетической энергией тела называют энергию W_k, являющуюся мерой его механического движения, и измеряемую той работой, которую может совершить тело при его торможении до полной остановки. Найдем выражение для кинетической энергии твердого тела В, имеющего массу m, и движущегося поступательно со скоростью

Пусть тело В тормозится, наталкиваясь на неподвижно закрепленное тело С, деформируя его. При этом тело В действует на тело С с некоторой силой (в общем случае переменной) и на малом участке пути совершает элементарную работу: По третьему закону Ньютона на тело В одновременно действует сила (касательная составляющая которой равна ), что вызывает изменение численного значения скорости тела В.

По второму закону Ньютона: Следовательно, , или

(3.2.1)

Принимая (3.2.1), работа, совершаемая телом В до полной остановки: Итак, кинетическая энергия поступательно движущегося тела равна половине произведения массы этого тела на квадрат его скорости:

(3.2.2)

Из выражения (3.2.2) следует, что кинетическая энергия тела не может быть отрицательной величиной.

Уравнение (3.2.2) справедливо, в частности, для кинетической энергии материальной точки. Так как любую механическую систему можно рассматривать как систему материальных точек, то кинетическая энергия механической системы может быть найдена как сумма кинетических энергий всех n материальных точек, образующих эту систему:

(3.2.3)

где m_i и υ_i – масса и скорость i-ой материальной точки. Таким образом, кинетическая энергия системы полностью определяется величинами масс и скоростей движения материальных точек, входящих в систему. Кинетическая энергия не зависит от того, каким образом части рассматриваемой системы приобрели данные значения скоростей, то есть кинетическая энергия системы является функцией состояния ее движения.

Как известно, скорость тела существенным образом зависит от выбора системы отсчета. При выводе формул (3.2.2) и (3.2.3) предполагалось, что движение рассматривается в инерциальной системе отсчета, так как в противном случае нельзя было бы пользоваться законами Ньютона. Однако в разных инерциальных системах отсчета, движущихся друг относительно друга, значение скорости v_i i-ой материальной точки системы, а, следовательно, и ее кинетической энергии не одинаковы. Иными словами, значение кинетической энергии системы зависит от выбора системы отсчета, то есть является относительной величиной.

Кинетическая энергия вращающегося тела

Согласно выражению (3.2.3) кинетическая энергия тела, вращающегося относительно оси OZ, со скоростью w, и с учетом формулы связи между линейной и угловой скоростями (v_i = w×r_i, r_i – расстояние от i-ой точки тела до оси вращения), может быть представлена в виде:

(3.2.4)

где I_z – момент инерции тела относительно оси вращения. В общем случае, тело может одновременно участвовать как в поступательном, так и во вращательном движении. При этом кинетическая энергия тела может быть найдена как сумма величин (3.2.3) и (3.2.4):

(3.2.5)

Потенциальная энергия

Если на систему материальных точек или тел действуют консервативные силы, то можно ввести понятие потенциальной энергии этой системы. Действительно, работа A_1-2, совершаемая консервативными силами при изменении конфигурации системы (то есть расположения всех ее частей по отношению к системе отсчета) не зависит от того, как было осуществлено это изменение при переводе системы из начальной конфигурации 1 в конечную 2. Работа A_1-2 полностью определяется начальной и конечной конфигурациями системы, или:

где W_п – некоторая функция состояния системы, зависящая только от координат всех материальных точек системы. Эту функцию называют потенциальной энергией системы. Из выражения (3.2.6,а) следует, что работа консервативных сил, действующих на механическую систему, равна убыли потенциальной энергии системы. Для элементарной работы можно записать:

Выражения (3.2.6,а) и (3.2.6,б) позволяют найти зависимость потенциальной энергии системы от ее конфигурации только с точностью до произвольного постоянного слагаемого С, не влияющего на величину разности W_п1 - W_п2. Поэтому в каждой конкретной задаче для получения зависимости потенциальной энергии от конфигурации системы выбирают так называемую нулевую конфигурацию, для которой потенциальную энергию системы условно считают равной нулю. Таким образом, потенциальная энергия системы в произвольном состоянии равна работе, совершаемой консервативными силами при переводе системы из этого состояния в состояние, соответствующее нулевой конфигурации.

В качестве первого примера рассмотрим потенциальную энергию тела, обусловленную действием на него силы тяжести Если высота H подъема тела над поверхностью Земли во много раз меньше радиуса Земли, то можно считать, что сила тяжести не зависит от высоты H:

P = m×g,

где m – масса тела, g – ускорение свободного падения.

A = P×H = m×g×H.

Если это же тело падает по наклонной плоскости (рис. 3.5), то

A = P×l×cosa = m×g×H.

Работа силы тяжести на каждом таком участке равна DA_i = P×Dl_i×cosa_i = m×g×DH_i, где DH_i – проекция участка Dl_i на вертикальную ось (рис. 3.6). В целом, на всем криволинейном пути работа силы тяжести равна

Итак, работа силы тяжести зависит только от разности высот начальной и конечной точек пути. В этом случае работа силы тяжести вдоль замкнутой траектории тела равна нулю, что подтверждает вывод о консервативной природе силы тяжести. Потенциальная энергия тела, поднятого на высоту H над поверхностью Земли, как следует из выражения (3.2.6,а), равна

где W_п0 – потенциальная энергия тела, лежащего на поверхности Земли. Обычно принимают W_п0 = 0. Следовательно,

Найдем потенциальную энергию упруго деформированного тела. Сила упругости , как известно из эксперимента, пропорциональна величине деформации то есть где k – коэффициент упругости, характеризующие упругие свойства тела, а знак “-“ показывает, что сила упругости направлена в сторону, противоположную направлению деформации (упругодеформированное тело стремится восстановить свои первоначальные форму и размеры).

Элементарная работа, совершается силой при бесконечно малом изменении деформации тела на величину равна Работа силы упругости при конечном изменении деформации тела, например, при переводе его из недеформированного состояния (x = 0) в состояние, соответствующее деформации x, равна Из приведенного выражения видно, что работа A не зависит от хода процесса, а определяется начальным и конечным состоянием. Следовательно, силы упругости являются консервативными по своей природе, а потенциальная энергия упруго деформированного тела запишется как:

(3.2.8,а)

где W_п0 – потенциальная энергия недеформированного тела. Принимая W_п0 = 0, получим:

(3.2.8,б)

Если рассматриваемая система замкнута, то ее потенциальная энергия обусловлена только внутренними консервативными силами взаимодействия частей системы. На незамкнутую систему могут действовать также внешние консервативные силы. В соответствие с (3.2.6,б) изменение W_п системы может быть представлено: dW_п = -dA = -dA^внутр - dA^внеш, где dA^внутр и dA^внеш – работы, совершаемые при малом изменении конфигурации системы, соответственно, всеми внутренними и всеми внешними консервативными силами. Поэтому потенциальную энергию системы можно представить в виде суммы ее внутренней и внешней потенциальной энергии:

причем

Примером внешней потенциальной энергии может служить потенциальная энергия тела, поднятого над поверхностью Земли (так как соответствующая энергия обусловлена действием на тело внешней консервативной силы – силы тяжести). Примером внутренней потенциальной энергии является потенциальная энергия упруго деформированного тела.

Полной механической энергией системы называют величину, равную сумме кинетической и потенциальной энергий этой системы:

Полная механическая энергия системы является функцией ее состояния, так как каждое из слагаемых в (3.2.10) является функцией состояния системы.