Способы обнаружения и устранения систематических погрешностей

Результаты наблюдений, полученные при наличии систематической погрешности, называются неисправленными. При проведении измерении стараются в максимальной степени исключить или учесть влияние систематических погрешностей. Это может быть достигнуто следующими путями:

• устранением источников погрешностей до начала измерений. В большинстве областей измерений известны главные источники систематических погрешностей и разработаны методы, исключающие их возникновение или устраняющие их влияние на результат измерения. В связи с этим в практике измерений стараются устранять систематические погрешности не путем обработки экспериментальных данных, а применением СИ, реализующих соответствующие методы измерений;

• определением поправок и внесением их в результат измерения;

• оценкой границ неисключенных систематических погрешностей.

Постоянная систематическая погрешность не может быть найдена методами совместной обработки результатов измерений. Однако она не искажает ни показатели точности измерений, характеризующие случайную погрешность, ни результат нахождения переменной составляющей систематической погрешности. Действительно, результат одного измерения

x_i = x_и + Δ_i + θ_i,

где x_и — истинное значение измеряемой величины; Δ_i — i-я случайная погрешность; θ_i — i-я систематическая погрешность. После усреднения результатов многократных измерений получаем среднее арифметическое значение измеряемой величины

Если систематическая погрешность постоянна во всех измерениях, т.е. θ_i = θ, то

Таким образом, постоянная систематическая погрешность не устраняется при многократных измерениях.

Постоянные систематические погрешности могут быть обнаружены лишь путем сравнения результатов измерений с другими, полученными спомощью более высокоточных методов и средств. Иногда эти погрешности могут быть устранены специальными приемами проведения процесса измерений. Эти методы рассмотрены ниже.

Наличие существенной переменной систематической погрешности искажает оценки характеристик случайной погрешности и аппроксимацию ее распределения. Поэтому она должна обязательно выявляться и исключаться из результатов измерений.

Для устранения постоянных систематических погрешностей применяют следующие методы:

• Метод замещения, представляющий собой разновидность метода сравнения, когда сравнение осуществляется заменой измеряемой величины известной величиной, причем так, что при этом в состоянии и действии всех используемых средств измерений не происходит никаких изменений. Этот метод дает наиболее полное решение задачи. Для его реализации необходимо иметь регулируемую меру, величина которой однородна измеряемой. Например, взвешивание по методу Борда, измерение сопротивления посредством моста постоянного тока и мер сопротивления.

• Метод противопоставления, являющийся разновидностью метода сравнения, при котором измерение выполняется дважды и проводится так, чтобы в обоих случаях причина постоянной погрешности оказывала разные, но известные по закономерности воздействия на результаты наблюдений. Например, способ взвешивания Гаусса.

Пример 5.1. Измерить сопротивление с помощью одинарного моста методом противопоставления.

Сначала измеряемое сопротивление R_x уравновешивают известным сопротивлением R₁, включенным в плечо сравнения моста. При этом R_x = R₁ R₃/R₄, где R₃, R₄ — сопротивления плеч моста. Затем резисторы R_х и R₁ меняют местами и вновь уравновешивают мост, регулируя сопротивление резистора R₁.

В этом случае R_x = R'₁ R₃/R₄.

Из двух последних уравнений исключается отношение R₃/R₄.Тогда

• Метод компенсации погрешности по знаку (метод изменения знака систематической погрешности), предусматривающий измерение с двумя наблюдениями, выполняемыми так, чтобы постоянная систематическая погрешность входила в результат каждого из них с разными знаками.

Пример 5.2. Измерить ЭДС потенциометром постоянного тока, имеющим паразитную термо ЭДС.

При выполнении одного измерения получаем ЭДС Е₁. Затем меняем полярность измеряемой ЭДС и направление тока в потенциометре. Вновь проводим его уравновешивание — получаем значение Е₂. Если термо ЭДС дает погрешность ΔЕ и

Е₁ = Е_x+ΔЕ, то Е₂=Е_x - ΔЕ. Отсюда Е_x= (Е₁ + Е₂)/2. Следовательно, систематическая погрешность, обусловленная действием термоЭДС, устранена.

• Метод рандомизации — наиболее универсальный способ исключения неизвестных постоянных систематических погрешностей. Суть его состоит в том, что одна и та же величина измеряется различными методами (приборами). Систематические погрешности каждого из них для всей совокупности являются разными случайнымивеличинами. Вследствие этого при увеличении числа используемых методов (приборов) систематические погрешности взаимно компенсируются.

Для устранения переменных и монотонно изменяющихся систематических погрешностей применяют следующие приемы и методы.

• Анализ знаков неисправленных случайных погрешностей. Если знаки неисправленных случайных погрешностей чередуются с какой-либо закономерностью, то наблюдается переменная систематическая погрешность. Если последовательность знаков "+" у случайных погрешностей сменяется последовательностью знаков "-" или наоборот, то присутствует монотонно изменяющаяся систематическая погрешность. Если группы знаков "+" и "-" у случайных погрешностей чередуются, то присутствует периодическая систематическая погрешность.

• Графический метод. Он является одним из наиболее простых способов обнаружения переменной систематической погрешности в ряду результатов наблюдений и заключается в построении графика последовательности неисправленных значений результатов наблюдений. На графике через построенные точки проводят плавную кривую, которая выражает тенденцию результата измерения, если она существует. Если тенденция не прослеживается, то переменную систематическую погрешность считают практически отсутствующей.

• Метод симметричных наблюдений. Рассмотрим сущность этого метода на примере измерительного преобразователя, передаточная функция которого имеет вид y = kx + y₀, где x, y – входная и выходная величины преобразователя; k – коэффициент погрешность которого изменяется во времени по линейному закону; y₀ - постоянная.

Для устранения систематической погрешности трижды измеряется выходная величина y через равные промежутки времени Δt. При первом и третьем измерениях на вход преобразователя подается сигнал x₀ от образцовой меры. В результате измерений получается система уравнений:

Её решение позволяет получить значение x, свободное от переменной систематической погрешности, обусловленной изменением коэффициента k:

• Специальные статистические методы. К ним относятся способ последовательных разностей, дисперсионный анализ, и др. Рассмотрим подробнее некоторые из них.

Способ последовательных разностей(критерий Аббе).Применяется для обнаружения изменяющейся во времени систематической погрешности и состоит в следующем. Дисперсию результата наблюдений можно оценить двумя способами: обычным

и вычислением суммы квадратов последовательных (в порядке проведения измерений) разностей (x_i-1 - x_i)²

Если в процессе измерений происходило смещение центра группирования результатов наблюдений, т.е. имела место переменная систематическая погрешность, то σ²[x] дает преувеличенную оценку дисперсии результатов наблюдений. Это объясняется тем, что на σ²[x] влияют вариации . В то же время изменения центра группирования весьма мало сказываются на значениях последовательных разностей d_i = x_i-1 - x_i, поэтому смещения почти не отразятся на значении .

Отношение ν = Q²[x]/σ²[x] является критерием для обнаружения систематических смещений центра группирования результатов наблюдений. Критическая область для этого критерия (критерия Аббе) определяется как P(ν < ν_q) = q, где q = 1 – P - уровень значимости, P – доверительная вероятность. Значения ν_q для различных уровней значимости и числа наблюдений приведены в таблице. Если полученное значение ν_q критерия Аббе меньше при заданных q и n, то гипотеза о постоянстве центра группирования результатов наблюдений отвергается, т.е. обнаруживается переменная систематическая погрешность результатов измерений.

Таблица

Значения критерия Аббе ν_q