Amp; 5.2. Неперервність функцій.

При побудові графіків найпростіших функцій ми використовували властивості неперервних функцій, хоча сам термін «неперервна функція» не вживався, а саме : на площині відмічалися точки, координати яких занесені в таблицю, сполучивши відмічені точки суцільною лінією, одержували графік функції. Це можна зробити не завжди, а тільки в тому випадку, якщо функція неперервна.

Означення. Функція називається неперервною в точці , якщо границя функції при існує і дорівнює значенню функції при :

Із означення неперервності функції в точці , випливає виконання слідуючих умов :

1) функція повинна бути визначена в точці ;

2) у функції повинна існувати границя в точці ;

3) границя функції в точці співпадає із значенням функції в цій точці.

Приклад 1. Дослідити на неперервність функцію в точці . Функція визначена на всій числовій прямій і

Так як , тобто значення функції в точці співпадає з границею при , то згідно означення, функція неперервна в точці

Функція називається неперервною зліва в точці , якщо

і неперервною справа в точці , якщо

Приклад 2. Дослідити неперервність в точці функцію

Функція при визначена і дорівнює 0.

Із малюнка видно, що

Отже, , тобто границі існують, але різні, тому функція не є неперервною в точці .

Приклад 3. Функція не є неперервною в точці , так як вона не визначена в цій точці.

Функція називається неперервною в проміжку, якщо вона неперервна в усіх точках цього проміжку.