Паралельне ввімкнення ланок

Паралельним з'єднанням ланок вважається таке, коли на вхід всіх ланок поступає одна і та ж величина, а вихідна величина рівна сумі вихідних величин окремих ланок.

Математичну операцію сепарації – представлення відношення спектральної щільності сигналу і факторизованої спектральної щільності зашумленного сигналу з корінням в нижній напівплощині площини частоти у вигляді суми доданків і простого відкидання коріння нижньої напівплощини виконати значно складніше. Початкова електронна система представляється у вигляді паралельного сполучення більш простих складових з певними властивостями.

Ця операція приводить до фізично реалізовуваної системи управління, але розплатою за фізичну реалізацію є збільшення сталої помилки системи, яка мінімізується за визначенням.

Існує два основні прийоми виконання вказаної операції: шляхом розкладання дробово-раціональної функції відношення спектральної щільності на суму простих множників (аналогічно розкладанню при інтегруванні дробово-раціональних функцій) або шляхом зворотного перетворення Лапласа вказаного співвідношення спектральної щільності, інтеграції в комплексній напівплощини параметра Р із застосуванням теореми Коші про вирахування, і прямого перетворення Лапласа сепарованого шляхом інтеграції виразу.

Дрібно-раціональна функція це відношення двох багаточленів, які не мають спільних множників. Раціональні функції представляються в вигляді паралельного сполучення елементарних функцій, якщо порядок поліному чисельника дорівнює або менше полінома знаменника. Якщо навпаки, тоді виконується ділення для виділення цілої частини. В результаті отримують суму, яка складається з многочлена та правильної раціональної функції, де ступінь чисельника менше ніж знаменника, а багаточлени не мають спільних множників.

Розклад на простіші дроби тісне пов’язаний з розкладом знаменника на множники. Діленням чисельника і знаменника на коефіцієнт при старшому члені можна завжди досягти того, що коефіцієнт при старшому члені багаточлена знаменника дорівнює одиниці. За основною теоремою алгебри багаточлен знаменника можна розкласти на добуток двочленів з дійсними коренями та квадратних тричленів з дійсними та комплексно-спряженими коренями. Особливість полягає в тому що дійсні корені мають у чисельнику постійне число, а комплексно спряжені додатковий нуль. Одне та інше треба визначити. Найбільш поширений спосіб – метод невизначених коефіцієнтів.

У першому випадку задача легко вирішувана, якщо елементарні поліноми мають перший порядок. У разі наявності періодичних складових порядок полінома рівний двом, коли коріння комплексно зв'язані – одне коріння знаходиться у верхній на півплощині, інше в нижній.

В цьому випадку необхідно застосувати другий спосіб. Для цього знайдемо часову функцію відношення спектральної щільності, як зворотне перетворення Лапласа

Інтеграл уздовж нескінченної довжини уявної осі визначається інтегралом по замкнутому контуру, який складається з уявної осі і дуги півкола нескінченного радіусу. Тому інтеграл U(t) визначили як суму вирахувань зі всіма полюсами, що знаходяться в лівій і правій на півплощинах параметра р.

Для часу t > 0 перетворення Лапласа відповідає правій напівплощині, що еквівалентно фізично нереалізовуваній системі і функція часу рівна нулю. Тому перетворення Лапласа виконали для функції часу

,

і одержали сепарований вираз, який має все полюси в лівій напівплощині і використовується у формулі (10.8)

Результати структурного синтезу оптимальних контурів управління по відхиленню і збуренню приведені в таблиці 7.2. Якщо корисний сигнал апроксимований поліномом другого порядку (процес без періодичної складової), то оптимальною структурою є інерційна ланка першого порядку. Для процесу з періодичною складовою (поліном четвертого порядку) оптимальна структура – форсована ланка другого порядку. Поліном шостого порядку приводить до дробово-раціональної функції, де порядок полінома знаменника рівний трьом, а чисельника – двом.

У загальному вигляді структура оптимальної по критерію мінімуму середньоквадратичної помилки передавальної функції замкнутої системи відтворення сигналу на фоні перешкоди є дробово-раціональною функцією, що поєднує два суперечливі процеси уповільнення і прискорення. Порядок полінома, прискорюючого (форсуючого) процес управління, на одиницю менше порядку характеристичного полінома уповільнюючого цей процес. Порядок уповільнюючого полінома рівний половині порядку характеристичного полінома спектральної щільності корисного (сумарного) сигналу.

Одержані системи оптимальної швидкодії можна представлені у вигляді змінних стану. Змінні стану мають декілька іншу структуру, що пов'язане з особливостями побудови форсованих систем особливо для стохастичних вхідних сигналів.