Решение задачи

Определение вектора конечной продукции за предыдущий период

По условию задачи известны объемы производства каждой из отраслей за предыдущий период (суммарный выпуск продукции отрасли i): X₁=600, Х₂=1000, Х₃= 800 и значения x_ij (i,j = 1, 2, 3):

х₁₁=250; х₁₂=100; х₁₃=160

х₂₁=150; х₂₂=500; х₂₃=0;

х₃₁=0; х₃₂=300; х₃₃=400.

Отсюда, используя, можно определить значения Yi, i=1,2,3 конечной продукции каждой из отраслей за предыдущий период.

Y₁ =600-250-100-160=90;

Y₂ =1000-150-500-0=350;

Y₃ =800-0-300-400=100.

Таким образом, вектор конечной продукции за предыдущий период найден:

Yⁿ =

Для определения вектора выпуска продукции X при заданном конечном прогнозируемом векторе спроса Y = надо решить систему уравнений, из которой следует, что

X=(Е-А)^-1Y

где Е - единичная матрица

Е =

S=(E-A)^-1 - называется матрицей полных затрат.

Определение коэффициентов прямых затрат

Учитывая, что технология производства не изменилась, определим коэффициенты прямых затрат a_ij.

a₁₁=250/600=0,417; a₁₂=100/1000=0,1; a₁₃=160/800=0,2

a₂₁=150/600=0,25; a₂₂=500/1000=0,5; a₂₃=0/800=0;

a₃₁=0/600=0; a₃₂=300/1000=0,3; a₃₃=400/800=0,5.

Таким образом, матрица коэффициентов прямых затрат будет иметь вид

А =

Проверка продуктивности матрицы

Все элементы матрицы А неотрицательные, А≥0.

Для того чтобы система уравнений имела единственное неотрицательное решение при любом неотрицательном векторе Y, необходимо, чтобы матрица А была продуктивной. Экономический смысл продуктивности состоит в том, что существует такой план выпуска продукции, при котором каждая отрасль сможет произвести некоторое количество конечной продукции. Известно, что для продуктивности матрицы А≥0 необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы (Е-А) были положительными числами, строго меньше единицы. Кроме того, если сумма элементов каждого из столбцов неотрицательной квадратной матрицы положительна и строго меньше единицы, то все главные миноры матрицы (Е-А) положительны и строго меньше единицы.

Суммы элементов каждого столбца матрицы А соответственно равны:

0,417 + 0,25 + 0 = 0,667;

0,1 + 0,5 + 0,3 = 0,9;

0,2 + 0 + 0,5 = 0,7.

Следовательно, в силу вышесказанного, матрица А продуктивна, выражение X=(Е-А)^-1Y имеет смысл и вектор Y неотрицателен. Следовательно, для нахождения плана выпуска продукции Xможно воспользоваться формулой X=(Е-А)^-1Y.

Вычисление матрицы Е-А

Вычислим матрицу (Е-А):

E-A = - =

Вычисление обратной матрицы (Е-А)^-1

Известно, что матрица В^-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице В, если произведение В×В^-1=Е (Е - единичная матрица).

Для вычисления обратной матрицы воспользуемся формулой:

Здесь [B_ij] - матрица, полученная из элементов B_ij, a B_ij - алгебраические дополнения элементов ij матрицы.

В_ij=(-1) ^i+jM_ij

где М_ij - минор элемента B_ij (минор - это такой определитель, который получается из матрицы вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент).

Вычислим значения алгебраических дополнений элементов матрицы (Е-А). Обозначим для простоты описания вычислений Е-А=В:

B₁₁ = (-1)¹⁺¹ = 0,25

B₁₂ = (-1)¹⁺² = 0,125

B₁₃ = (-1)¹⁺³ = 0,075

B₂₁ = (-1)²⁺¹ = 0,11

B₂₂ = (-1)²⁺² = 0,292

B₂₃ = (-1)²⁺³ = 0,075

B₃₁ = (-1)³⁺¹ = 0,1

B₃₂ = (-1)³⁺² = 0,05

B₃₃ = (-1)³⁺³ = 0,267

Таким образом, [E-A] = [B_ij] =

Вычисление транспонированной матрицы

Поменяв в матрице [Е-А] строки и столбцы местами, получаем:

[E-A]^T = [B_ij] ^T=

Вычисление определителя матрицы [Е-А]

Вычислим определитель, применив разложение по первой строке

det(Е-А)= 0,583× - (-0,1)× - (-0,2)× = 0,018

Вычисление матрицы прямых затрат S

По формуле S=(E-A)^-1 = = =

=

Определение вектора выпуска продукции X

Зная S и Y, вычислим Х по формуле:

Х = S×Y = ×

Отсюда

Х₁ = 2,113 × 2000 + 0,93 × 2000 + 0,845 × 3000 = 8620;

Х₂ = 1,056 × 2000 + 2,465 × 2000 + 0,423 × 3000 = 8310;

Х₃ = 0,634 × 2000 + 1,479 × 2000 + 2,254 × 3000 = 10986.

Таким образом, вектор выпуска продукции в следующем периоде при заданном векторе конечной продукции

Y^c = Х =

Очевидно, что с использованием матричных операций в Excel процедура вычислений в балансовой модели существенно упростится.

Реализация балансовой модели в электронной таблице Excel показана в табл. 4.2.2 (режим показа формул) и в табл. 4.2.3 (режим вычислений).

Таблица 4.2.2

В строке 11 размещены формулы для проверки продуктивности матрицы технологических коэффициентов.

В ячейке А11 формула

=ИЛИ(B10>=l;C10>=l;D10>=l)

проверяет содержимое ячеек B10:D10. Если хотя бы в одной из этих ячеек значение больше единицы (т.е. сумма значений элементов хотя бы в одном столбце превышает единицу), то в ячейку А11 будет записано значение «ИСТИНА». В противном случае - значение «ЛОЖЬ»;

В ячейку С11 введена формула

=ЕСЛИ(А11="ИСТИНА";"Нет решения";"Матрица продуктивна")

Эта формула проверяет содержимое ячейки А11 и если сумма элементов хотя бы одного столбца превысила единицу, выводит сообщение "Нет решения", в противном случае - "Матрица продуктивна".

Таблица 4.2.3