Середні величини.

Середні величини – це узагальнююча міра ознаки, що варіює, у статистичній сукупності, тобто це узагальнюючий показник, який характеризує типовий рівень ознаки , що варіює, в розрахунку на одиницю сукупності.

Середня величина - узагальнюючий показник. Який характеризує сукупність однотипних явищ за змінною кількісною ознакою. Середня величина показує типове, характерне значення ознаки, віднесене до одиниць статистичної сукупності.

Умови наукового використання середніх величин:

- якісна однорідність сукупності;

- сукупність має бути достатньо великою;

- використання загальних середніх з груповими.

Призначення середніх в економічному аналізі:

- характеристика рівня масових суспільних явищ;

- проведення порівняльного аналізу;

- вивчення тенденцій розвитку явищ;

- вибіркове спостереження;

- вимірювання взаємозв’язків.

В статистиці використовують різні види середніх величин. Застосування того чи іншого виду середньої залежить від виду ряду розподілу. Змісту ознаки і мети використання. Критерієм правильного вибору виду середньої величини є запис логічної формули розрахунку.

Статистика розглядає наступні види середніх величин:

- середня арифметична,

- середня гармонійна,

- середня геометрична,

- середня квадратична

Кожна з цих середніх може розраховуватися як для не згрупованих даних – проста середня, так і для згрупованих даних – зважена середня.

- середня хронологічна,

- порядкові середні (мода, медіана, квартилі, децилі).

Розрахункові формули, мету застосування і критерій застосування того чи іншого виду середньої величини подамо у таблиці.

Вид середньої	Критерій вибору виду	Розрахункова формула	Інша інформація
простої	зваженої
Середня арифметична	Є однією з найбільш поширених середніх. Її використовують для характеристики рядів розподілу, сума окремих значень ознаки в яких утворює загальний обсяг ознаки. Інакше, використовується за первинними не згрупованими (проста) або згрупованими (зважена) даними коли, відповідно, відомо і чисельник і знаменник логічної формули, не відомо чисельник а відомо знаменник . Логічна формула : середня = загальний обсяг ознаки/загальний обсяг сукупності			Для визначення середньої в інтервальному варіаційному ряді необхідно попередньо визначити серединні ( центральні0 значення варіант як середину інтервалу , переходячи до дискретного ряду і застосувати середню зважену. Якщо при цьому початковий інтервал є відкритим, то його довжина відповідає довжині наступного інтервалу, і якщо відкритим є останній інтервал, то довжина його відповідає довжини попереднього інтервалу. Властивості. - Середня сталої величини дорівнює цій сталій: - Якщо кожну з варіант ряду розподілу збільшити ( зменшити) на певну сталу величину А. то і середня зміниться на цю величину: , -Якщо кожну з варіант ряду розподілу помножити (розділити) на певну сталу величину А, то і середня зміниться на цю величину: -Якщо усі частоти помножити (розділити) на певну сталу величину, то середня від цього не зміниться: - Сума відхилень варіант від середньої дорівнює нулю: - сума квадратів відхилень значень варіант від середньої є меншою за суму квадратів відхилень від будь-якої іншої величини6 З урахуванням цих властивостей обчислення середньої арифметичної для інтервального варіаційного ряду з рівними інтервалами можна виконати методом моментів першого порядку за такою формулою: , -довжина інтервалу, А- «умовний нуль» або центральне значення ознаки з найвищою частотою, - момент першого порядку, - центральне значення ознаки у відповідному інтервалі.
Середня гармонійна	Є величиною, яка обернена до середньої арифметичної. Має складнішу конструкцію і використовується у випадках, коли за частоти береться добутки значень варіант ознаки на їх чисельність( . Середня гармонійна вживається тоді, коли не задано обсягу сукупності а задано обсяг значень ознаки( варіанти зважуються за значеннями ). Інакше. Середня гармонійна використовується за не згрупованими та згрупованими даними коли в логічній формулі середньої відомо чисельник а невідомо знаменник		- обсяг значень ознаки
Середня геометрична	Використовується, якщо визначальна властивість сукупності (обсяг значень ознаки) формується як добуток індивідуальних значень ознаки. Найбільш широко використовується при аналізі рядів динаміки з метою визначення середніх коефіцієнтів (темпів) зміни рівнів ряду.
Середня квадратична	Використовується при визначенні абсолютних і відносних показників варіації. Середня квадратична використовується у випадку сумування квадратів значень варіант
Середня хронологічна	Використовується у рядах динаміки при визначенні середнього рівня моментного ряду. Якщо у хронологічному ряду наведено моментні показники, то для обчислення середньої вони замінюються пів сумами значень на початок і кінець періоду. Якщо моментів більш ніж два і інтервали між ними рівні. То середня обчислюється за середньою хронологічною.
Порядкові середні	Використовуються при визначенні характеристик рядів розподілу і форм розподілу	Дискретний ряд розподілу	Інтервальний ряд розподілу
Мода	Значення варіанти, яке найчастіше зустрічається в ряді розподілу.( Найбільш поширене значення ознаки, домінанта0	В ряді розподілу знайти максимальну частоту і значення варіанти, яке відповідає цій частоті і буде модою	В ряді розподілу знайти модальний інтервал, інтервал з максимальною частотою. У цьому інтервалі моду знайти за формулою:
Медіана	Значення варіанти, яке припадає на середину впорядкованого ряду розподілу, поділяє його навпіл – на дві рівні за обсягом частини	Визначають використовуючи кумулятивні частоти . Серед всіх кумулятивних частот знаходять таку, яка не менша за половину обсягу сукупності тобто таку, що . Варіанта, яка відповідатиме їй і буде медіаною.	Визначаютьмедіанний інтервал як інтервал з кумулятивною частотою не меншою за половину обсягу сукупності. В медіанному інтервалі медіану шукають за формулою
Квартилі	Значення варіант , які поділяють сукупність на чотири рівні за обсягом частини. Є три . Другий дорівнює медіані.	Визначають використовуючи кумулятивні частоти . Серед всіх кумулятивних частот знаходять таку, яка не менша за j/4 обсягу сукупності тобто таку, що . Варіанта, яка відповідатиме їй і буде відповідним квартелем. .	Визначаютьквартильний інтервал як інтервал з кумулятивною частотою не меншою за j/4 обсягу сукупності. В інтервалі квартилі шукають за формулою
Децилі	Значення варіант , які поділяють сукупність на десять рівних за обсягом частини Є дев'ять. П'ятий дорівнює медіані	Аналогічно до медіани і квартилів	Аналогічно до медіани і квартилів