Имеем симметричный девиатор напряжений

Принимается, что при небольших изменениях порового давления пористость и проницаемость среды, а также плотность жидкости линейно зависят от , т. е.

(2.31)

где , и – соответственно пористость, проницаемость и плотность при начальном давлении ; и – соответственно модули объемной упругости скелета и жидкости. Кроме того, принимаем, что .

К уравнениям (2.30 и (2.31) необходимо присоединить еще уравнение неразрывности движения жидкости (2.22), которое в силу неполного, равного , заполнения элементарного объема сплошной среды принимает вид

.

(2.32)

Уравнения (2.30) – (2.32) образуют, таким образом, замкнутую систему для определения функций , , и . Но если подставить уравнения (2.30) и (2.31) в (2.32) и учесть, что в реальных ситуациях величины и много меньше единицы, то отбросив малые величины высших порядков, получим одно основное

классическое уравнение теории фильтрации:

,

(2.33)

где – коэффициент пьезопроводности среды;
– приведенный модуль объемной упругости среды; – оператор Лапласа. Пьезопроводность имеет размерность м²/с.

Если , то уравнение (2.33) описывает нестационарное поле давления при упругом режиме фильтрации. При имеем уравнение Лапласа

,

(2.34)

которое характеризует неупругий (жесткий) режим фильтрации и, следовательно, стационарное поле давления. Это же уравнение имеет место при , т. е. при установившемся режиме фильтрации.

Для однозначного определения поля давления в заданной области , ограниченной поверхностью , необходимо и достаточно, чтобы решение уравнения (2.33) удовлетворяло начальному условию (при )

при

(2.35)

и при граничным условиям:

если на поверхности (или ее части) задано давление , то

при ,

(2.36)

если задана нормальная составляющая скорости фильтрации, то

,

(2.37)

если поверхность покрыта тонкой слабопроницаемой перемычкой (например, глинистая корка на стенке скважины), то

,

(2.38)

где – характерный линейный размер; – коэффициент поверхностного фильтрационного сопротивления, получивший название параметр «скин-эффекта».

Ясно, что для уравнения (2.34) начальное условие (2.35) смысла не имеет, а граничные условия вида (2.36) – (2.38) сохраняются.

2. Модель ламинарной фильтрации ньютоновских однородных жидкостей для анизотропной среды.