Течение вязкой жидкости по трубам. Формула Пуазейля
Течение вязкой жидкости по трубам представляет для медицины особый интерес, так как кровеносная система состоит в основном из цилиндрических сосудов разного диаметра.
Вследствие симметрии ясно, что в трубе частицы текущей жидкости, равноудаленные от оси, имеют одинаковую скорость. Наибольшей скоростью обладают частицы, движущиеся вдоль оси трубы; примыкающий к трубе слой жидкости неподвижен.
Примерное распределение скорости слоев v жидкости в сечении трубы показано на рис. 7.2.
 |
Для определения зависимости скорости слоев от их расстояния r от оси выделим мысленно цилиндрический объем жидкости некоторого радиуса r и длины l (рис. 7.3, а). На торцах цилиндра поддерживаются давления р1 и р2 соответственно, что обусловливает результирующую силу
На боковую поверхность цилиндра со стороны окружающего слоя жидкости действует сила внутреннего трения, равная [см. (7.1)]
где S = 2πrl — площадь боковой поверхности цилиндра. Так как жидкость движется равномерно, то силы, действующие на выделенный цилиндр, уравновешены: F = Fтр. Подставляя в это равенство (7.2) и (7.3), получаем
Знак «-» в правой части уравнения обусловлен тем, что dv/dr < 0 Ц(скорость уменьшается с увеличением г). Из (7.4) имеем
 |
Проинтегрируем это уравнение:
 |
'К
здесь нижние пределы соответствуют слою, «прилипшему» к внутренней поверхности трубы (v = 0 при r = R), а верхние пределы —
 |
переменные. После интегрирования (7.5) получаем параболическую зависимость скорости слоев жидкости от расстояния их до оси трубы (см. огибающую концов векторов скорости на рис. 7.2):
 |
Наибольшую скорость имеет слой, текущий вдоль оси трубы (r = 0):
 |
Установим, от каких факторов зависит объем Q жидкости, протекающей через горизонтальную трубу за 1 с. Для этого выделим цилиндрический слой радиусом г и толщиной dr. Площадь сечения этого слоя (рис. 7.3, б) dS = 2πrdr. Так как слой тонкий, то можно считать, что он перемещается с одинаковой скоростью и. За 1 с слой переносит объем жидкости
Подставляя (7.6) в (7.7), получаем
 |  |
откуда интегрированием по всему сечению находим
 |
Зависимость объема жидкости Q, протекающей через горизонтальную трубу радиуса R за 1 с, определяется формулой Пуазейля (7.8), где η — вязкость жидкости, р1- р2 — разность давлений, поддерживаемая на торцах трубы длиной l.
Как видно из (7.8), при заданных внешних условиях (р1 и р2) через трубу протекает тем больший объем жидкости, чем меньше ее вязкость и больше радиус трубы.
Проведем аналогию между формулой Пуазейля (7.8) и законом Ома для участка цепи без источника тока. Разность потенциалов соответствует разности давлений на концах трубы, сила тока — объему жидкости, протекающей через сечение трубы в 1 с, электрическое сопротивление — гидравлическому сопротивлению:
Гидравлическое сопротивление тем больше, чем больше вязкость η, длина l трубы и меньше площадь поперечного сечения. Аналогия между электрическим и гидравлическим сопротивлениями позволяет в некоторых случаях использовать правило нахождения элект
 |
рического сопротивления последовательного и параллельного соединений проводников для определения гидравлического сопротивления системы последовательно или параллельно соединенных труб. Так, например, общее гидравлическое сопротивление трех труб, соединенных последовательно (рис. 7.4, а) и параллельно (рис. 7.4, б), вычисляется соответственно по формулам:
Чтобы придать уравнению Пуазейля более общее выражение, справедливое и для труб переменного сечения, заменим (р1 - р2)/1 градиентом давления dp/dl, и тогда
 |
Установим в разных местах горизонтальной цилиндрической трубы разного сечения, по которой течет вязкая жидкость, манометрические трубки (рис. 7.5, а). Они показывают, что статическое давление вдоль трубы переменного сечения убывает пропорционально 1: dp/dl = const. Так как величина Q одинакова (несжимаемая жидкость), то [см. (7.12)] градиент давления больше в трубах меньшего радиуса. График зависимости давления от расстояния вдоль труб разного радиуса приближенно показан на рис. 7.5, б.
Дата добавления: 2015-03-03; просмотров: 1463;