Модели поршневого вытеснения нефти водой

Показатели, близкие к реальным, получают в ряде случаев при расчете разработки нефтяных месторождений с помощью модели, состоящей из моделей процесса поршневого вытеснения нефти водой и слоистого пласта.

Прежде всего, рассмотрим процесс поршневого вытеснения нефти водой из одного прямолинейного слоя (пропластка) толщиной и длиной , пористостью и проницаемостью (рис. 45).

Рис.45. Модель прямолиней-ного пропластка при поршневом вытеснении нефти водой

Пусть давление воды, входящей слева в пропласток, равно , а давление воды на выходе из него . Будем считать, что в течение всего процесса вытеснения нефти водой из слоя перепад давления постоянный. В соответствии с моделью поршневого вытеснения нефти водой остаточная нефтенасыщенность в заводненной области слоя остается постоянной, равной . Согласно рис. 45, фронт вытеснения занимает в момент времени t положение . Ширина пропластка, измеряемая в направлении, перпендикулярном к плоскости чертежа (см. рис. 45), равная ширине всего пласта, составляет . При постоянном перепаде давления на входе в пропласток и на выходе из него расход закачиваемой воды будет изменяться со временем.

Предположим, что в заводненной зоне, т. е. при cвязанная вода с начальной насыщенностью полностью смешивается с закачиваемой водой, так что условно (см. рис. 45) заводненная область насыщена остаточной нефтью и этой смесью. Тогда суммарный объем воды , вошедший в область пропластка при , можно определить по формуле

(5.11)

Дифференцируя это выражение по времени t, получим следующую формулу для расхода воды, поступающей в i-й пропласток:

. (5.12)

С другой стороны, можно, согласно обобщенному закону Дарси, т. е. с учетом того, что фазовые проницаемости для воды и нефти соответственно составляют , ( и — постоянные относительные проницаемости), получить для расхода воды следующее выражение:

, (5.13)

где — вязкость воды.

При рассмотрении процессов вытеснения нефти водой принимают, что нефть и вода — несжимаемые жидкости. Сжимаемость пород пласта также не учитывают. Поэтому, аналогично формуле (5.13), можно написать для дебита нефти, получаемой из того же i-го пропластка, выражение

, (5.14)

где — вязкость нефти.

Из выражений (5.13) и (5.14), исключая из них давление на фронте вытеснения, получим

, (5.15)

.

Приравнивая (5.12) и (5.15), получим следующее дифференциальное уравнение относительно :

. (5.16)

Интегрируя (5.16) и учитывая, что при t=0 приходим к следующему квадратному уравнению относительно :

. (5.17)

Решая это квадратное уравнение, получаем окончательные формулы для определения в пропластке с проницаемостью в любой момент времени

;

. (5.18)

Для того чтобы получить формулу для определения времени обводнения -го пропластка с проницаемостью , положим в первой формуле (5.18) .

Тогда

. (5.19)

Из формулы (5.19) следует, что пропласток с очень большой проницаемостью обводнится в самом начале процесса вытеснения нефти водой из слоистого пласта.

Рассмотрим процесс вытеснения нефти водой из слоистого пласта. Для удобства сложим мысленно все пропластки этого пласта в один «штабель», причем таким образом, чтобы абсолютная проницаемость пропластков изменялась последовательно начиная с наименьшей и кончая самой высокой.

Пусть, например, в нижней части этого «штабеля» расположен пропласток с самой большой проницаемостью, а вверху – с наименьшей проницаемостью. Согласно вероятностно-статистической модели слоисто-неоднородного пласта, суммарную толщину пропластков, проницаемость самого проницаемого которых не ниже, чем некоторое значение, равное , можно установить в соответствии с формулой закона распределения проницаемости следующим образом:

, (5.20)

где — общая толщина всех пропластков в «штабеле».

Формулу (5.20) можно представить в дифференциальном виде, т. е. через плотность распределения, следующим образом:

. (5.21)

Здесь — плотность вероятностно-статистического распределения абсолютной проницаемости.

Вытеснение нефти водой из слоистого пласта в целом можно рассматривать и иным образом, считая, что в некоторые слои толщиной и проницаемостью поступает вода с расходом . Тогда из формул (5.17) и (5.18)

(5.22)

С учетом (5.21) из (5.22), заменяя конечные приращения соответствующих величин их дифференциалами и опуская индекс , найдем

. (5.23)

Согласно модели поршневого вытеснения, из обводнившихся пропластков нефть не извлекается – из них поступает только вода. Обводняются, конечно, в первую очередь высокопроницаемые пропластки. В используемых в теории разработки нефтяных месторождений моделях пластов могут быть слои с бесконечно большой проницаемостью. Таким образом, к моменту времени , когда обводнятся все слои с проницаемостью , можно добывать нефть лишь из слоев с проницаемостью . В соответствии со сказанным для дебита нефти из рассматриваемого слоистого пласта на основе (5.23) получим следующее выражение:

. (5.24)

Дебит воды можно определить также с учетом указанных соображений по формуле

. (5.25)

С помощью приведенных формул можно, задаваясь последовательно значениями времени по (5.19) определять . Затем, предполагая, что плотность вероятностно-статистического распределения абсолютной проницаемости известна, можно определить, проинтегрировав (5.24) и (5.25), , и .

Приведенные выкладки и формулы пригодны, как уже было указано, для случаев, когда в течение всего процесса вытеснения нефти водой из слоистого пласта перепад давления не изменяется. Когда же задано условие постоянства расхода закачиваемой в слоистый пласт воды, получают несколько иные соотношения для определения дебитов нефти и воды, а также перепада давления, который в данном случае будет изменяться с течением времени. Если , справедливы формулы (5.15) и (5.16), следует при этом учитывать, что перепад давления — функция времени, т. е. .

Введем функцию :

, . (5.26)

Из формулы (5.15), если ее записать относительно дифференциалов расхода и толщины пласта , с учетом (5.26) получим

. (5.27)

Как и в случае постоянного перепада давления, при постоянном расходе закачиваемой в слоистый пласт воды к некоторому моменту времени часть слоев окажется полностью обводненной и из них будет добываться только вода, из другой, же части будут добывать безводную нефть. Поэтому полный расход закачиваемой во всю толщу слоистого пласта воды можно определить в результате интегрирования выражения (5.27) и прибавления к правой его части интеграла, учитывающего приток воды из обводнившихся слоев. Имеем

. (5.28)

Обучающемуся предлагается следующая процедура последовательного определения . Вначале следует задаться значением проницаемости , по формуле (5.19) определить время обводнения слоя , после чего для данного вычислить . Затем определяют интегралы, входящие в формулу (5.28), и при заданном . Вычислительные операции повторяют при других меньших значениях для получения зависимости .

Дебит нефти находят по формуле

, (5.29)

а дебит воды — по формуле

. (5.30)

В радиальном случае при поршневом вытеснении нефти водой из отдельного слоя вместо уравнения (5.12) будем иметь

. (5.31)

Пусть в некоторый момент времени фронт вытеснения нефти водой в -м слое дошел до радиуса , где пластовое давление равно . Тогда интегрируя (5.31) от радиуса скважины до радиуса , получим

. (5.32)

В области , т.е. впереди фронта вытеснения, движется нефть с тем же расходом , так что аналогично (5.32) имеем

. (5.33)

Из (5.32) и (5.33)

; . (5.34)

Аналогично (5.12) для i-го пропластка

. (5.35)

Приравнивая правые части (5.34) и (5.35) и опуская индекс , получим

. (5.36)

Обозначим и проинтегрируем (5.36) при Тогда

. (5.37)

Теперь можно найти время , соответствующее началу обводнения пропластка с абсолютной проницаемостью . Полагая , получим

(5.38)

Из формулы (5.34)

. (5.39)

Интегрируя (5.39), как и для прямолинейного случая, при имеем

; (5.40)

Для вычисления интеграла (5.40) в подынтегральное выражение следует подставить из формулы (5.37). Поэтому в общем случае необходимо определять, по-видимому, численным путем с использованием ЭВМ. Однако, как и в прямолинейном случае, при вычисления упрощаются. Выражение (5.40) превращается в следующую формулу:

. (5.41)

. (5.42)

Необходимо задаваться величиной , определять момент обводнения слоя с проницаемостью по формуле (5.38) и в соответствии с известным вероятностно-статистическим законом распределения абсолютной проницаемости определять и .