Приведение силы и произвольной системы сил к заданному центру.

Для решения вопроса о сложении сил, приложенных в различных точках твердого тела и направленных как угодно в пространстве в начале выясним, при каких условиях силу, приложенную у твердому телу в данной точке, можно переносить в любую точку (центру).

Допустим, что сила действует на тело в точке А, как показано на рис.4.1. Теперь попробуем эту силу параллельно самой себе перенести в точку В, называемую центром приведения. Для этого докажет следующую лемму: Всякую силу, приложенную к твердому телу из ее точки приложения можно переносить в любую другую точку, добавляя при этом одну пару сил, момент которой равен произведению силы на кратчайшее расстояние от центра приведения до линии ее действия.

Рис.4.1.

Докажем эту лемму:

Согласно аксиоме 2, действие силы не изменится, если в любой другой точке тела приложить две равные и противоположно направленные силы и , т.е. =- . Причем их можно выбирать так, чтобы по модулю они были равны заданной силе F₁=F₂=F. Тогда сила ~( , , ), так как ( , )~0. Но, с другой стороны три силы , , можно рассматривать как совокупность силы и пары ( , ). Таким образом, получается, что сила , приложенная в точке А, эквивалентна такой же силе , но приложенной в произвольно выбранной точке В и паре сил ( , ), момент которой равен моменту силы относительно точки В. Здесь пара ( , ) называется присоединенной, а точка В - центром приведения. Доказанную лемму обычно называют леммой о параллельном переносе силы. Этот метод был предложен французским ученым Пуансо (1777-1859) и назывался приведением силы к заданному центру.

Пользуясь этой леммой докажем следующую основную теорему статики твердого тела.

Теорема Пуансо. Всякую систему сил, как угодно расположенных в пространстве, всегда можно привести к одной силе, приложенной в центре приведения и равной векторной сумме всех заданных сил, и паре, момент которой равен сумме моментов этих сил относительно точки приведения.

Переходим к доказательству этой теоремы. Пусть дана система сил , , ,…, приложенных в точках А₁, А₂, А₃,…, А_n, какого-либо твердого тела и направленных как угодно в пространстве (рис.4.2). При этом радиус векторов точки приложения силы от этого центра обозначим через .

Рис.4.2.

Возьмем произвольную точку за центр О и приведем все силы к этой точке (пользуясь леммой). В результате получим систему сходящихся сил , , ,… приложенных в точке О и присоединенные пары ( , ), ( , ), ( , ), …, ( , ) полученные при последовательном переносе системы заданных сил в точку О соответственно с моментами , , ,…, .

Складывая силы , , ,… , приложенные в точке О, находим

= (4.1)

Такая сумма всех сил называется главным вектором.

Затем, складывая присоединенные пары ( , ), ( , ), ( , ), …, ( , ), находим равнодействующую пар, момент которой равен сумме моментов составляющих пар, т.е.

= (4.2)

Если учесть, что каждая присоединенная пара характеризуется моментом своей составляющей относительно точки приведения, т.е. через = , то выражение (4.2) дает следующую векторную сумму моментов всех заданных сил относительно точки приведения

= = . (4.3)

Такую сумму называют главным моментом системы относительно этого центра.

Итак, силы, расположенные как угодно в пространстве, всегда могут быть приведены к одной силе, равной их главному вектору , приложенной в произвольной точке О и к паре ( , ), момент которой равен главному моменту данных сил относительно точки = .

Следует отметить, что выбор центра приведения не отражается на численном значении и направлении главного вектора , но влияет на модуль и направление главного момента .

Для вычисления главного вектора и главного момента системы сил, произвольно расположенных в пространстве, воспользуемся методом проекции. Для этого обозначив проекции главного вектора на оси координат через R_x, R_y, R_z, согласно (4.1), имеем

R_x= ; R_y= ; R_z= , (4.4)

где F_ix, F_iy, F_iz-проекции сил (i= ) соответственно на оси координат X,Y и Z. Модуль главного вектора определяется из

К= . (4.5)

Здесь R_x, R_y, R_z вычисляются по формуле (4.4).

Так как является векторной величиной, то кроме численного значения необходимо знать его направление. Оно находится при помощи направляющих косинусов, известных из курса векторной алгебры

cos( )= ; cos( )= ; cos( )= . (4.6)

Откуда

( )=arccos ; ( )=arccos ; ( )=arccos . (4.7)

Формулы (4.6) и (4.7) дают возможность определить соответственно направляющие косинусы и углы между главными вектором и прямоугольными осями координат.

Если проекции главного момента на декартовой оси X,Y,Z обозначим через M_0x, M_0y, M_0z, то

= M_0x× + M_0y× + M_0z× (4.8)

С другой стороны, согласно формулы (4.3), имеем

= =

= , (4.9)

где через x_i, y_i, z_i обозначены проекции радиуса-вектора на соответствующие оси координат. Далее сравнивая (4.8) с (4.9), находим

(4.10)

Следовательно, модуль и направление вектора определяются формулами:

М₀= (4.11)

(4.12)

Заметим, что так как силы системы расположены в пространстве совершенно произвольно, то главный момент может быть направлен под какие угодно углом. Для определения этого угла воспользуемся формулой, выражающей скалярное произведение векторов и

× =R₀M₀cos( )

Откуда

cos( )= (4.13)

или в соответствии с формулами (4.6) и (4.12), имеем

cos( )=cos( )cos( ) + cos( )cos( ) +

+ cos( )cos( ) (4.14)

Если к твердому телу приложена плоская система сил, то из трех прямоугольных декартовых осей координат X,Y,Z достаточно выбрать две, например, х, у. Тогда модуль и направление главного вектора определяются по формулам

(4.15)

где

R_x= ; R_y= .

Для этого случая все присоединенные пары сил лежат в одной плоскости. Следовательно, момент эквивалентной им пары сил, равный главному моменту системы сил относительно центра приведения определяется как алгебраическая сумма моментов сил относительно этого центра

M=M₀= (4.16)

Теперь рассмотрим возможные частные случаи при приведении системы сил, действующих на тело к выбранному центру. Всего таких случаев может быть пять:

1. , = =0. В этом случае заданная система сил уравновешена.

2. , =0. Заданная система сил эквивалентна одной силе , т.е. приводится к равнодействующей, линия действия которой проходит через центр приведения.

3. , ¹0. Система сил приводится к одной паре.

4. ¹0, ¹0 и cos( , )=0. Заданная система сил приводится к одной силе.

5. ¹0, ¹0 и cos( , )¹0. В этом случае заданная система сил приводится к динамическому винту.