Многогранники

Основные понятия и определения

Многогранником называется пространственное геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками. Плоские многоугольники некоторого многогранника будем называть его гранями, а линии пересечения граней – его ребрами, вершины многогранных углов, образованных его гранями, сходящимися в одной точке, - вершинами многогранника. По числу граней многогранники могут быть трехгранные, четырехгранные и т.д. Различают многогранники выпуклые и вогнутые. Многогранник называется выпуклым, если все его вершины и ребра располагаются по одну сторону от любой его грани.

Правильные многогранники – многогранники, у которых все грани правильные и равные многоугольники, а многогранные углы при вершинах выпуклые и содержат одинаковое число граней. Например, тетраэдр – правильный четырехгранник, гексаэдр – куб и т.д.

Наиболее распространенными многогранниками являются пирамида и призма.

Пирамида – многогранник, в основании которого лежит произвольный многоугольник, а боковые грани – треугольники с общей вершиной S.

Призма – многогранник, у которого основания – два одинаковых и взаимно параллельных многоугольника, а боковые грани - параллелограммы. Призма, основания которой – параллелограммы, называется параллелепипедом. Призма, все боковые грани которой – прямоугольники, т.е. ребра перпендикулярны основанию, называется прямой.

Для всех выпуклых многогранников справедлива теорема Эйлера: «Во всяком выпуклом многограннике число его вершин (В), плюс число граней (Г), минус число ребер (Р) равно двум» (В+Г-Р=2).

Формула Эйлера используется для проверки правильности построения изображений многогранников на ортогональном чертеже.

Многогранники и многогранные поверхности широко используются в технике, строительстве, архитектуре: крыши, мостовые опоры, многогранные оболочки и перекрытия.