Динамические свойства машин (приборов).
Работу любой машины (прибора) можно описать следующими дифференциальными уравнениями:
stWp= Mкр0+ hW+ Jпр dW/dt, (5-10)
W1- W= Jпр Wp dst/dt, (5-11)
где st - напряжение (касательное или нормальное) в сечении выходного вала (штока, штанги); W - скорость движения исполнительного органа; W1 - скорость движения на входе в машину; Jпр - инерционная характеристика на выходном вале (приведенные момент инерции или масса); Jпр - приведенный коэффициент упругости магистралей машины; h- приведенный коэффициент потерь на трение, пропорциональное скорости движения; Wp- геометрическая характеристика рассматриваемого сечения силовой магистрали, обычно примыкающего к исполнительному органу.
Структурная схема передачи мощности аналогична рис.3.5.
Уравнения (5-10), (5-11) справедливы как для крутильных, продольных, так и для поперечных колебаний. Однако коэффициенты в таком случае будут разными.
Так, для продольных колебаний в механизме с цилиндрической штангой диаметром d, длиной l следует принимать:
Wp= f= pd2/4- площадь сечения штанги; Mкр0= F0 - продольная сила; W= u, W1 = u1 - скорости продольного перемещения; J= mпр - приведенная масса перемещающихся частей; Jпр= l/(fE); E- модуль упругости;
для крутильных колебаний в механизме с цилиндрическим валом диаметром d, длиной l -
Wp= pd3/16- полярный момент сопротивления сечения вала; Mкр0- крутящий момент; W, W1 - угловые скорости вращения; Jпр - приведенный момент инерции вращающихся частей; Jпр= 32l/(Gpd4); G- модуль сдвига;
для изгибных (поперечных) колебаний механизма с цилиндрической балкой диаметром d длиной l расчет коэффициента упругости достаточно сложен и его для простых случаев можно определять с помощью выражения Jпр= yст /(mg), где yст - прогиб от статической нагрузки, определяемый известными методами сопромата; mпр - масса груза .
(Примеры определения коэффициентов упругости для сложных случаев приведены в разделах 3.5…3.8).
Совместное решение системы уравнений (5-10), (5-11) приводит к уравнению
W(t) (1+ hJпрp+ Jпр Jпрp2)= W1(t) - Mp0(t) Jпрp, (5-12)
где рº d/dt- оператор дифференцирования.
Это уравнение может быть переписано в комплексной форме с помощью преобразований по Лапласу (см. раздел 3.5)
W(s)(1+ hJпрs+ JJпрs2)= W1(s) - Mp0(s)Jпрs, (5-13)
где s- оператор Лапласа; W(s), W1(s), Mp0(s) - изображения по Лапласу функций W(t), W1(t), Mp0(t).
Такое преобразование дает возможность получить передаточные функции влияния скорости движения ведущего вала и колебаний силы на скорость движения исполнительного органа
WWW(s)= W(s)/ W1(s)= 1/(1+ hJпрs+ Jпр Jпрs2), (5-14)
WMW(s)= W(s)/ Mp0(s)= -Jпрs /(1+ hJпрs+ Jпр Jпрs2). (5-15)
Преобразование по Лапласу позволяет подстановкой в (5-14), (5-15) s= jw, где w - круговая частота колебаний, рассчитать и построить частотные характеристики машины, иллюстрирующие влияние
колебаний скорости движения W1 входного участка вала на
колебания скорости движения выходного звена W
WWW( jw)= 1/[1+ hJпр jw+ JпрJпр(jw)2], (5-16)
колебаний силы сопротивления Mp0 на колебания скорости
движения выходного звена W
WMW( jw)= -Jпр jw /[1+ hJпр jw+ Jпр Jпр(jw)2]. (5-17)
После приведения подобных членов получим выражения для
определения модуля частотных характеристик
АWW= [(1- JJпрw2)2+ (hJпр w)2]-1/2; (5-18)
А MW= Jпр w [(1- Jпр Jпрw2)2+ (hJпр w)2]-1/2. (5-19)
Из (5-17), (5-19), пользуясь свойствами преобразований по Лапласу, можно определить амплитуду колебаний перемещения выходного звена под действием колебаний нагрузки
Y M= Jпр Mpo [(1- Jпр Jпрw2)2+ (hJпр w)2]-1/2. (5-20)
Из этих выражений видно, что при некоторых частотах модуль частотной характеристики, а значит и амплитуда колебаний, могут сильно возрастать. Такая частота называется резонансной или собственной для данного механизма
w рез = 1/( Jпр Jпр)1/2 . (5-21)
При этой частоте амплитуда колебаний перемещения равна
Y M= (Jпр Jпр)1/2 Mpo h-1. (5-22)
Из (5-22) видно, что при h=0, т.е. в случае отсутствия потерь на трение, Y M® ¥. Поэтому работа в резонансном режиме обычно приводит к разрушению. Увеличение коэффициента упругости, например, введением эластичных материалов или пружин, уменьшает резонансную частоту. При этом, если рабочая частота не находится в зоне резонанса, амплитуда колебаний тоже снизится.
Выше приведенные выражения применены для машин или приборов, где силовую часть можно считать системой с сосредоточенными параметрами. В действительности все механические системы более точно описываются, как системы с распределенными по длине параметрами [6]. В таком случае приведенные выражения позволяют оценить поведение системы при частотах, близких 1-й резонансной или 1-й собственной частоты. Последующие резонансные всплески несут меньше энергии и поэтому часто менее опасны для механизма.
Динамические свойства машин характеризуются также сдвигом по фазе j. Этот параметр описывает отставание выходного сигнала от входного. Его значение, например для передаточной функции (5-17), можно определить с помощью выражения
j= arctg(Jпр w)- arctg[Jпр hw/(1- Jпр Jпр w2)]. (5-23)
Запишем также выражения для определения резонансных частот в разных механических системах:
крутильные колебания
w рез = (Jпр Jпр ) -1/2 , (5-24)
гдедля диска Jпр = mR2/2);
продольных колебаний
w рез = (Jпр mпр ) -1/2 , (5-25)
поперечных колебаний
w рез = (Jпр mпр) -1/2. (5-26)
Дата добавления: 2015-02-23; просмотров: 919;