Теоретические основы. Задача планирования распределения средств на рекламу

Задача планирования распределения средств на рекламу

Акционерное общество, имеющее сеть магазинов, занимается оптовой и розничной продажей широкой номенклатуры товаров. Это автомобили, компьютеры, мебель, парфюмерия и ткани. Решая задачу продвижения товаров на рынке, руководство акционерного общества выделяет определённые (ограниченные) средства на рекламу своих товаров. Ставиться задача распределения выделенных средств на различные виды рекламы (газеты, радио, телевидение, щитовая и т.д.) При рекламировании различных групп товаров с использованием определённых средств рекламы акционерное общество получает различные доходы, так что задача рационального вложения ограниченных рекламных средств в определённые виды рекламы по той или иной группе товаров является актуальной.

Исследования, проведённые отделом маркетинга, позволили установить величины прибылей, получаемых при реализации товаров определённой группы при рекламировании их тем или иным видом рекламы. Эти данные сформированы в виде матрицы эффективности рекламы (Рис.1.).

Рис.1. Матрица эффективности рекламы.

В приведённой матрице - удельная прибыль при финансировании Ri вида рекламы для рекламирования товара Gj. Очевидно, что элементы матрицы должны удовлетворять условию .

В качестве управляющих переменных выбирают объёмы вложений в рекламу . Число переменных в задаче , а сумма всех переменных, то есть сумма вложений в рекламу, не может превышать установленной величины V.

В такой формулировке задача оптимизации распределения средств на рекламу представляет собой классическую задачу линейного программирования, в которой максимизируется прибыль при установленном уровне затрат.

Математическая модель имеет вид

(1)

при ограничениях

, (2)
, (i=1, 2, ¼m; j=1, 2, ¼n)

Решение этой задачи для случая, когда средства вложения в рекламу ограничены величиной V=2200 долл., а собранные данные об удельных показателях эффективности рекламы имеют вид:

даёт с помощью средства Поиск решения приложения MS Excel результат:

Полученный результат, при кажущейся нелепости, является предсказуемым. Действительно, удельная прибыль от рекламы автомобилей на телевидение имеет самую большую величину. Поэтому в пределах построенной модели результат вполне закономерен.

В рассмотренной модели не учитывается постепенное уменьшение эффективности вложений в рекламу по мере всё большего удовлетворения спроса.

Эффект насыщения рынка описывается моделями:

· кусочно–линейной;

· экспоненциальной.

В соответствии с кусочно–линейной моделью прибыль , получаемая при реализации j-того товара, рекламируемого i-тым видом рекламы, от величины объема вложений определяется выражением

(3)

где: - максимально-возможная прибыль, получаемая при реализации j-того товара, рекламируемого i-тым видом рекламы. График зависимости (3) представлен на Рис.2.

Величина ограничивает сверху объём вложений

(4)

В этой ситуации максимизируемая целевая функция является суммой нелинейностей (3)

(5)

Система ограничений имеет вид

, (6)
, (i=1, 2, ¼m; j=1, 2, ¼n)

Для случая, когда матрица предельных значений прибыли имеет вид

решение поставленной задачи по рассмотренной модели приводит к результату

Матрица оптимальных объёмов затрат на рекламу
(кусочно-линейная модель)

Прибыль , получаемая при реализации j-того товара, рекламируемого i-тым видом рекламы, от величины объема вложений в экспоненциальной модели определяется выражением

(7)

Расчёт величин осуществляется на основе анализа первой производной зависимости (7). Первая производная

,

как отношение приращения полученной прибыли к приращению вложения в рекламу, является мерой эффективности вложений в рекламу. Поэтому объём вложений в рекламу не должен превышать значения, в котором первая производная равна приемлемому коэффициенту эффективности

Дифференцируя , получим

(8)

Приравнивая первую производную , получим уравнение относительно

(9)

Решение составленного уравнения, приводит к результату

(10)

Во всём остальном математическая модель соответствует уравнениям (5), (6).

Решение задачи оптимального распределения средств на рекламу по данной модели при даёт следующую матрицу распределения объёмов вложений.

Матрица оптимальных объёмов затрат на рекламу
(экспоненциальная модель)

Задача планирования рекламной кампании

Решение задачи оптимального распределения средств на рекламу по данной модели при даёт следующую матрицу распределения объёмов вложений.

Фирма еженедельно анализирует, как обстоят дела со сбытом одного из видов своей продукции, и даёт оценку: отличную (“О” – состояние 1), хорошую (“Х” – состояние 2) или удовлетворительную (“У” – состояние 3).

Необходимо принять решение о целесообразности рекламирования продукции с целью расширения её сбыта. У руководителей фирмы есть два варианта действий: делать еженедельный вклад в рекламу или нет. Поскольку на целенаправленную деятельность фирмы накладываются многочисленные случайные факторы, нет гарантии того, что при вложении средств на рекламу прибыль увеличится. Однако вероятность этого повышается. Принимаемое решение (вкладывать средства или нет) зависит от состояния дел, на которое, в свою очередь, влияют предыдущие решения. Поэтому данная задача должна быть квалифицирована как задача вероятностного динамического программирования [1, 4, 5]. Для её решения необходимо знать вероятности переходов из одного состояния в другое при еженедельном невложении средств в рекламу и при вложении. При трёх состояниях дел (отлично -1, хорошо – 2, удовлетворительно -3) эти вероятности задаются матрицами

Соответствующие доходы заданы матрицами

Элементы матрицы учитывают затраты на рекламу.

Задачи вероятностного динамического программирования решают пошагово, начиная с последнего шага.

Для общности предположим, что составляется план вложения в рекламу на N недель, а число состояний для каждого шага равно m. Пусть - оптимальный ожидаемый доход за этапы (шаги) n,n+1,…,N, при условии, что система находиться в состоянии i в начале n-ой недели.

Тогда:

,

где при всех j.

Рассмотрим организацию расчётов для случая трёх(m=3) состояний в течение трёх недель (N=3). На Рис.4 показаны матрицы вероятностей переходов и доходов на рабочем листе приложения MS Excel.

Рис.4. Матрицы вероятностей переходов и доходов.

Фрагмент рабочего листа в режиме показа формул для расчёта представлен на Рис.5.

Рис.5. Организация расчётов .

Расчёт ожидаемых доходов при n=2,1 однотипен. На Рис.6 показана организация формул на листе для расчёта

Рис.6. Организация расчётов .

Для наглядности восприятия выбранных максимальных значений рационально использовать условное форматирование. Ячейки с выбранными значениями имеют отличное от других оформление. Выбранный вариант (без рекламы – 1 или с рекламой – 2) находится с помощью функции ПОИСКПОЗ().

Замечание.

Расчёт выражения

по своей сути представляет собой сумму двух выражений типа «сумма произведений». Элементы массивов, входящих в первое слагаемое ориентированы горизонтально. В этом случае использована функция СУММПРИЗВ(). Во втором слагаемом первый массив (массив вероятностей ориентирован горизонтально), а массив ожидаемых доходов вертикально. В этом случае сумма произведений рассчитывается с помощью функции матричного умножения МУМНОЖ(). Обратите внимание на это!

На Рис.7 представлены окончательные результаты расчётов.

Рис.7. Результаты планирования рекламной кампании.

Расчёты показывают, на первой и второй неделях необходимо использовать рекламу, не считаясь с состоянием системы, однако на третьей неделе рекламу следует использовать только тогда, когда система находится во втором или третьем состояниях. Суммарный ожидаемый доход фирмы составит 10 736 при отличной оценке, 7 923 – при хорошей и 4 222 – при удовлетворительной.