Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений

Необходимость определения постоянных интегрирования из начальных условий в ряде случаев значительно усложняет расчет переходных процессов классическим методом решения линейных дифференциальных уравнений, описывающих исследуемые процессы. По мере усложнения электрических схем и возрастания порядка дифференциальных уравнений трудности, связанные с нахождением постоянных интегрирования, возрастают.

Для инженерной практики более удобным является метод решения линейных дифференциальных уравнений, при котором заданные начальные условия включаются в исходные уравнения и для нахождения искомой функции не требуется дополнительного определения постоянных интегрирования.

Идея этого метода заключается в том, что из области функции действительного переменного решение переносится в область функции комплексного переменного где операции принимают более простой вид. А именно: вместо исходных дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений получаются алгебраические уравнения, затем, производится обратный переход в область функций действительного переменного.

Взаимное соответствие между функцией времени (оригиналом) и ее изображением в операторном методе устанавливается с помощью прямого

и обратного преобразований Лапласа и указывается знаком соответствия:

Функция называется операторным изображением функции или изображением функции по Лапласу. Исходная функция времени по отношению к своему операторному изображению является оригиналом. Комплексное число p будем называть оператором преобразования Лапласа или комплексной частотой.

Некоторые свойства преобразования Лапласа.

1. Изображение по Лапласу постоянной величины K равно этой величине, деленной на p:

2. Умножение функции времени на постоянное число K соответствует умножение на это же число ее изображения:

3. Изображение суммы функций времени равно сумме изображений этих функций:

где

4. Если начальное значение функции равно нулю: то дифференцированию функции соответствует умножение изображения этой функции на p (теорема дифференцирования):

При

5. Интегрированию функции времени в пределах от 0 до t соответствует деление изображения этой функции на p (теорема интегрирования):

6. Смещению функции времени на t₀ соответствует деление изображения этой функции на p (теорема запаздывания):

7. Смещению изображения на комплексной плоскости на комплексное число соответствует умножение оригинала на (теорема смещения):

8. Умножению аргумента оригинала на постоянное число соответствует деление аргумента изображения и самого изображения на это же число (теорема изменения масштаба, теорема подобия):

9. Если изображение может быть представлено в виде отношения двух полиномов от p, не имеющих общих корней

причем степень полинома выше, чем степень полинома , а уравнение не имеет кратных корней, то для перехода от изображения к оригиналу можно воспользоваться теоремой разложения:

где —корни уравнения

Если в уравнении один корень равен нулю, то полином можно представить в виде , а оригинал находят по формуле

(3.2)

Если среди m корней уравнения имеется n — вещественных и — комплексных, то обозначив вещественные корни через (k=1, 2, … , n), а комплексные — через и положив

тогда

(3.3)

Теорема разложения в сочетании с другими свойствами преобразования Лапласа дает возможность составить таблицы оригиналов и изображений, значительно облегчающие и ускоряющие расчеты переходных процессов. Следует отметить, что в ряде справочников приведены таблицы преобразований Лапласа–Карсона которое отличается от преобразования Лапласа только наличием множителя p.