Уравнения однородной линии в стационарном режиме

Под первичными параметрами линии будем понимать сопротивление , индуктивность , проводимость и емкость , отнесенные к единице ее длины. Для получения уравнений однородной линии разобьем ее на отдельные участки бесконечно малой длины со структурой, показанной на рис. 4.19.

Пусть напряжение и ток в начале такого элементарного четырехполюсника равны u и i, а в конце соответственно и .

Разность напряжений в начале и конце участка определяется падением напряжения

Рис.4.19

на резистивном и индуктивном элементах, а изменение тока на участке равно сумме токов утечки и смещения через проводимость и емкость. Таким образом, по законам Кирхгофа

или после сокращения на

;

(1)

.

(2)

Теорию цепей с распределенными параметрами в установившихся режимах будем рассматривать для случая синусоидального тока. Тогда полученные соотношения при можно распространить и на цепи постоянного тока, а воспользовавшись разложением в ряд Фурье – на линии периодического несинусоидального тока.

Вводя комплексные величины и заменяя на , на основании (1) и (2) получаем

;	4.3
,	4.4

где и - соответственно комплексные сопротивление и проводимость на единицу длины линии.

Продифференцировав (4.3) по х и подставив выражение из (4.4), запишем

.

Характеристическое уравнение

,

откуда

.

Таким образом,

,

4.5

где - постоянная распространения; - коэффициент затухания; - коэффициент фазы.

Для тока согласно уравнению (4.3) можно записать

,

4.6

где - волновое сопротивление.

Волновое сопротивление и постоянную распространения называютвторичными параметрами линии, которые характеризуют ее свойства как устройства для передачи энергии или информации. Эти параметры соответствуют характеристическим параметрам четырехполюсника.

Определяя и , на основании (4.5) запишем

.

4.7

Аналогичное уравнение согласно (4.6) можно записать для тока.

Слагаемые в правой части соотношения (4.7) можно трактовать как бегущие волны: первая движется и затухает в направлении возрастания х, вторая – убывания. Действительно, в фиксированный момент времени каждое из слагаемых представляет собой затухающую (вследствие потерь энергии) гармоническую функцию координаты х, а в фиксированной точке – синусоидальную функцию времени.

Волну, движущую от начала линии в сторону возрастания «х»называют прямой, а движущую от конца линии в обратном направлении – обратной

На рис. 4.20 представлена затухающая синусоида прямой волны для моментов времени и . Перемещение волны характеризуется фазовой скоростью. Это скорость перемещения по линии неизменного фазового состояния, т.е. скорость, с которой нужно перемещаться вдоль линии, чтобы наблюдать одну и ту же фазу волны: Рис. 4.20

.

4.8

Продифференцировав (4.8) по времени, получим

.

4.9

Длиной волны называется расстояние между двумя ее ближайшими точками, различающимися по фазе на рад. В соответствии с данным определением

,

откуда

и с учетом (9)

.

В соответствии с введенными понятиями прямой и обратной волн распределение напряжения вдоль линии в любой момент времени можно трактовать как результат наложения двух волн: прямой и обратной, - перемещающихся вдоль линии с одинаковой фазовой скоростью, но в противоположных направлениях:

,

4.10

где в соответствии с (4.5) и .

Аналогично для тока на основании (6) можно записать

,

4.11

где и .

Положительные направления прямой и обратной волн тока в соответствии с (4.11) различны: положительное направление прямой волны совпадает с положительным направлением тока (от начала к концу линии), а положительное направление обратной волны ему противоположно.

На основании (10) и (11) для прямых и обратных волн напряжения и тока выполняется закон Ома

;

.

Рассмотрим теоретически важный случай бесконечно длинной однородной линии.

Бесконечно длинная однородная линия. Согласованный режим работы

В случае бесконечно длинной линии в выражениях (4.5) и (4.6) для напряжения и тока слагаемые, содержащие , должны отсутствовать, т.к. стремление лишает эти составляющие физического смысла. Следовательно, в рассматриваемом случае . Таким образом, в решении уравнений линии бесконечной длины отсутствуют обратные волны тока и напряжения. В соответствии с вышесказанным

;

.

4.12

На основании соотношений (4.12) можно сделать важный вывод, что для бесконечно длинной линии в любой ее точке, в том числе и на входе, отношение комплексов напряжения и тока есть постоянная величина, равная волновому сопротивлению:

.

Таким образом, если такую линию мысленно рассечь в любом месте и вместо откинутой бесконечно длинной части подключить сопротивление, численно равное волновому, то режим работы оставшегося участка конечной длины не изменится. Отсюда можно сделать два вывода:

Уравнения бесконечно длинной линии распространяются на линию конечной длины, нагруженную на сопротивление, равное волновому. В этом случае также имеют место только прямые волны напряжения и тока.

У линии, нагруженной на волновое сопротивление, входное сопротивление также равно волновому.

Режим работы длинной линии, нагруженной на сопротивление, равное волновому, называется согласованным,а сама линия называется линией с согласованной нагрузкой.

Отметим, что данный режим практически важен для передачи информации, поскольку характеризуется отсутствием отраженных (обратных) волн, обусловливающих помехи.

В электротехнике есть термин:

натуральная мощность - это мощность, поглощаемая согласованной нагрузкой, когда мощность волны, достигшей конца линии поглощается полностью без отражений:

P = U²/Z

где U - напряжение в линии; Z - волновое сопротивление линии.

Поскольку в любом сечении согласованной линии сопротивление равно волновому, угол сдвига между напряжением и током неизменен. Таким образом, если мощность, получаемая линией от генератора, равна , то мощность в конце линии длиной в данном случае

,

откуда КПД линии

и затухание

.

Как указывалось при рассмотрении четырехполюсников, единицей затухания является непер, соответствующий затуханию по мощности в раз, а по напряжению или току – в раз.

Контрольные вопросы к теме

1. Что называют четырехполюсником, виды, параметры связи?

2. Режимы работы: х.х, к.з., согласованный режим, связь между параметрами.

3. Что такое передаточная функция четырехполюсника, частотные характеристиви?

4. Что такое электрический фильтр и какие они бывают?

5. В чем заключается разница между цепями с сосредоточенными и распределенными параметрами?

6. По какому критерию цепь относят к классу цепей с распределенными или сосредоточенными параметрами?

7. Первичные и вторичные параметры, фазовая скорость.

8. Объясните понятия прямой и обратной бегущих волн.

9. Что такое согласованный режим работы цепи с распределенными параметрами, чем он характеризуется?