Расчет прямозубых цилиндрических передач на прочность

Расчет на прочность прямозубых и косозубых цилиндрических передач стандартизован ГОСТ 21354-87.

Силы в зацеплении. На рис. - нормальная сила, направ­ленная по линии зацепления как общей нормали к рабочим поверх­ностям зубьев. Силы, действующие в зацеплении, принято прик­ладывать в полюсе зацепления. При этом силу - , переносят в по­люс и раскладывают на окружную , и радиальную . По заданным и опре­деляют

и через нее выражают все другие составляющие:

, .

Расчет прочности зубьев по контактным напряжениям. Наименьшей контактной усталостью об­ладает околополюсная зона рабочей поверхности зубьев, где на­блюдается однопарное зацепление (см. рис.). Поэтому расчет контактных напряжений принято выполнять при контакте в полюсе зацепления. Контакт зубьев можно рассматривать как контакт двух цилиндров с радиусами и . При этом контактные напряжения определяют по формуле

.

Для прямозубых передач

/

Радиусы кривизны эвольвент зубьев в точке контакта (рис. 8.18)

; .

По формуле

,

где , знак «+» - для наружного, а «-» - для вну­треннего зацепления.

(8.7) Заменяя

и подставляя в формулу получаем

.

Параметр по ГОСТ 16532-70 называют передаточным числом и определяют как отношение большего числа зубьев к мень­шему независимо от того, как передается движение: от к или от к . Это передаточное число отличается от передаточного отношения , которое равно отношению угловых скоростей ведуще­го колеса к ведомому и которое может быть меньше или больше единицы, положительным или отрицательным. Применение вме­сто связано только с принятой формой расчетных зависимостей для контактных напряжений [см. вывод формулы (8.9), где выра­жено через (меньшее колесо), а не через (большее колесо)]. Величина контактных напряжений, так же как и передаточное число , не зависит от того, какое колесо ведущее, а величина передаточ­ного отношения зависит . Однозначное определение позволяет уменьшить вероятность ошибки при расчете. Передаточное число относится только к одной паре зубчатых колес. Его не следует применять для обозначения передаточного отношения многосту­пенчатых редукторов, планетарных, цепных, ременных и других передач. Там справедливо только обозначение .

Величины расчетных контактных напряжений одинаковы для шестерни и колеса. Поэтому расчет выполняют для того из колес пары, у которого меньше допускаемое напряжение - см. ниже (чаще это бывает колесо, а не шестерня).

Формулу используют для проверочного расчета, когда все необходимые размеры и другие параметры передачи известны. При проектном расчете необходимо определить размеры передачи по заданным основным характеристикам: крутящему моменту или и передаточному числу .

С этой целью формулу решают относительно . Другие неизвестные параметры оценивают приближенно или выбирают по рекомендациям на основе накопленного опыта. В нашем случае принимаем ; =20⁰ ( 0,6428), 1,15 (этот коэффициент зависит от окружной скорости , кото­рая пока неизвестна, поэтому принято некоторое среднее значе­ние - см. табл. 8.3). При этом из составляющих коэффициен­та [см. формулу (8.4)] остаются и . Далее обозначаем - коэффициент ширины шестерни относительно диа­метра.

Подставляя в формулу (8.10) и решая относительно , находим

.

Решая относительно межосевого расстояния , заменяем ; и вводим - коэффициент ширины колеса относительно межосевого расстояния.

После преобразований с учетом зависимости

Получим

.

При расчетах передач с цилиндрическими зубчатыми колесами чаще используют формулу (8.13), так как габариты передачи опре­деляет преимущественно межосевое расстояние.

Расчет значений допускаемого напряжения . Значение оценивают в соответствии с заданной (или выбранной) схемой передачи и значением , которое рассчитыва­ют по формуле , где значение заранее выбирают по реко­мендациям. При выборе учитывают следующее. Увеличе­ние или относительной ширины колес позволяет уменьшить габариты и массу передачи, но вместе с этим требует повышенной жесткости и точности конструкции. В противном случае возрастает неравномерность распределения нагрузки по ширине зубчатого венца. Может оказаться, что положительное влияние увеличения шири­ны колес не компенсирует вредного влияния увеличения неравно­мерности нагрузки.

Выбор модуля и числа зубьев. В формуле

модуль и число зубьев непосредственно не участвуют. Они входят в эту формулу косвенно через , который определяется произведением . Из этого следует, что значение контактных напряжений не зависит от модуля или числа зубьев в отдельности, а определяется только их произведением или диаметрами колес. По условиям контактной прочности при данном модуль передачи может быть сколь угод­но малым, лишь бы соблюдалось равенство .

Минимально допускаемое значение модуля можно определить из условий прочности зубьев на изгиб. Однако при таком расчете в большинстве случаев получают зацепления с оченьмелкими зубьями, применение которых практически ограни­чено. Поэтому величину обычно выбирают, ориентируясь на рекомендации, выработанные практикой, и затем проверяют изгибную прочность зубьев. В этих рекомендациях учитывают следу­ющее.

Мелкомодульные колеса с большим числом зубьев предпочтитель­ны по условиям плавности хода передачи (увеличивается коэффициент торцового перекрытия - ) и экономичности. При малых уменьшаются потери на трение (уменьшается скольжение), сокращается расход материала (умень­шается наружный диаметр ) и экономится станочное время нарезания зубьев (уменьшается объем срезаемого мате­риала).

Крупномодульные колеса с большим объемом зубьев дольше про­тивостоят износу, могут работать длительное время после начала выкрашивания, менее чувствительны к перегрузкам и неоднород­ности материала (дефекты литья и т. п.). При мелком модуле возрастают требования к точности и жесткости передачи, так как увеличивается возможность поломки зубьев вследствие концент­рации нагрузки, в особенности при перегрузках. При ориентировоч­ной оценке величины можно использовать рекомендации.

Выбрав по этой таблице , определяют

,

где

.

Значение согласуют со стандартом. Для силовых передач обычно рекомендуют принимать >1,0мм.

При известном модуле определяют и уточняют все остальные параметры передачи.

Для передач без смещения

; ; ;

; /

Должно быть , где - определяют по таблице в зависимости от передачи (прямозубая, косозубая или шевронная).

Для уменьшения шума в быстроходных передачах рекомендуют брать >25. Для окончательного утверждения выбранной вели­чины модуля необходимо проверить прочность по напряжениям изгиба.

В случае неудовлетворительного результата изменяют и опре­деляют новые значения z.

При проверке можно получить значительно меньше , что не является противоречивым или недопустимым, так как нагру­зочная способность большинства передач ограничивается контакт­ной прочностью, а не прочностью на изгиб. Если расчетное значе­ние превышает допускаемое, то применяют колеса, нарезанные с положительным смещением инструмента, или увеличивают . Это значит, что в данной передаче (при данных материалах) реша­ющее значение имеет не контактная прочность, а прочность на изгиб. На практике такие случаи встречаются у колес с высокотвер­дыми зубьями при Н>50...60 HRC (например, цементированные зубья).

Расчет прочности зубьев по напряжениям изгиба. Зуб имеет слож­ное напряженное состояние. Наибольшие напряжения изгиба образуются у корня зуба в зоне перехода эвольвенты в гал­тель. Здесь же наблюдается концентрация напряжений. Для того чтобы по возможности просто получить основные расчетные зави­симости с учетом влияния основных параметров на прочность зубьев, рассмотрим вначале приближенный расчет, а затем введем поправки в виде соответствующих коэффици­ентов. Допустим следующее:

1. Нагрузка в зацеплении передается одной парой зубьев и приложена к вершине зуба. Практика подтверждает, что этот худший слу­чай справедлив для 7-й, 8-й и более низких степеней точности, ошибки изготовления кото­рых не могут гарантировать наличие двухпар­ного зацепления.

2. Зуб рассматриваем как консольную бал­ку, для которой справедливы гипотеза плоских сечений.

Силу переносим по линии действия на ось симметрии зуба и раскладываем на составляющие и . При этом радиус приложе­ния окружной силы будет несколько больше радиуса начальной окружности. Пренебрегая этой разностью, для расчета сил и используем формулы

, .

Напряжение в опасном сечении, расположенном вблизи хорды основной окружности,

Где - момент сопротивления сечения при изгибе; - площадь; , и указаны на рис.

Знак «-» в формуле указывает, что за расчетные напряже­ния принимают напряжения на растянутой стороне зуба, так как в большинстве случаев практики именно здесь возникают тре­щины усталостного разрушения (для стали растяжение опаснее сжатия).

Размеры и неудобны для расчетов. Используя геометрическое подобие зубьев различного модуля, их выражают через безразмер­ные коэффициенты:

и ,

где - модуль зубьев.

После подстановки и введения расчетных коэффициентов полу­чают

,

где - коэффициент расчетной нагрузки; - теоре­тический коэффициент концентрации напряжений. Далее обозначают

- коэффициент формы зуба.

Для колес с внутренними зубьями приближенно можно прини­мать =3,5...4, большие значения - при меньших .

При этом для прямозубых передач расчетную формулу записы­вают в виде

,

где - допускаемое напряжение изгиба.

Для проектных расчетов по напряжениям изгиба формулу решают относительно модуля путем замены , , , тогда

И далее, принимая приближенно = 1,5 , получают

Величины и задают согласно рекомендациям.

Из формул следует, что - безразмерный коэффици­ент, значения которого зависят только от формы зуба ( , , ) и в том числе от формы его галтели (коэффициент ). Форма зуба при одинаковом исходном контуре инструмента зависит от числа зубьев и коэффициента смещения инструмента х. Рассмотрим эту зависимость.

Влияние числа зубьев на форму и прочность зубьев. На рис. показано изменение формы зуба в зависимости от числа зубьев колес, нарезанных без смещения с постоянным модулем. При колесо превращается в рейку, и зуб приобретает прямолинейные очертания. С уменьшением уменьшается толщина зуба у основания и вершины, а также увеличивается кривизна эвольвентного профиля. Такое изменение формы приводит к уменьшению прочности зуба. При дальнейшем уменьшении появляется подре­зание ножки зуба (штриховая линия на рис., прочность зуба существенно снижается. При нарезании инструментом реечного ти­па для прямозубых передач число зубьев на границе подрезания =17.

Рассмотренное влияние числа зубьев на прочность справедливо при постоянном модуле, когда с увеличени­ем увеличиваются и диаметры колес. При постоянных диаметрах с изменением изме­няется модуль . В этом случае изменяются не только форма, но и размеры зуба. С увеличением форма улучшается, а размеры уменьшаются (уменьшается ). Уменьше­ние модуля снижает прочность зуба на изгиб.