Аналитические методы вычисления процессов
Аналитические методы вычисления выходного сигнала замкнутой системы базируются на известных методиках решения дифференциальных уравнений. Решение (4.1) классическими методами во временной области приводит к соотношению (4.7). Зная , внешние воздействия v(t), f(t) и интегрируя (4.7), можно вычислить реакцию системы y(t). такой подход редко используется в практике теории управления, а выражение (4.7) в большей степени применяется в теоретических выкладках.
На практике решение уравнения (4.1) чаще всего осуществляют с помощью операционного исчисления на базе преобразования Лапласа, т.е. за основу принимают выражение (4.2).
Рассмотрим методику вычисления реакции системы на внешнее воздействие v(t) при нулевых начальных условиях координаты у(t) и ее производных. В этом случае связь изображений входа и выхода будет иметь вид
(4.8)
где в общем случае N(s) и D(s) – полиномы степени m и n соответственно.
Вычисление составляющей , обусловленной возмущением f(t), будет аналогичным с использованием передаточной функции .
В (4.8) изображение v(s)длябольшинства типовых воздействий представляет собой дробно-рациональную функцию, т.е.также является отношением некоторых полиномов относительно s. Таким образом, изображение Y(s) в этом случае будет иметь следующий вид: где степень полинома M(s) меньше степени полинома Q(s), которую обозначим через r и в общем случае .
Вычисление оригинала y(t) по его изображению осуществляется по формулам разложения Xевисайда.Если полюса изображения Y(s), являющиеся корнями уравнения , которые обозначим , являются различными, то оригинал определяется выражением
(4.9)
где
B случае кратных полюсов для вычисления оригинала используется выражение на основе вычетов [6].
Если входной сигнал v(t) = 1[t], то , а изображение реакции системы в соответствии с (4.8) примет такой вид:
Реакция системы в этом случае является переходной функцией замкнутой системы hз(t), которая как частный случай (4.9) будет вычисляться по выражению
(4.10)
где – различные корни характеристического уравнения замкнутой системы.
Следует отметить, что случай кратных корней при исследовании систем управления встречается сравнительно редко.
В (4.10) характеризует так называемую установившуюся составляющую, а – переходную составляющую. И вобщем случае в (4.9) для произвольного процесса y(t) можно всегда выделить две составляющие: установившуюся и переходную . Частным случаем установившейся составляющей является случай, соответствующий , которую будем называть статической составляющей. Для асимптотически устойчивых систем (это понятие будем рассматривать в разд. 5) всегда и при больших значениях t реакция системы .
Отметим, что так как в (4.10) – это постоянные величины, то структура переходной составляющей идентична структуре свободной составляющей (4.4).
Реакция системы y(t) на входнойсигнал v(t) при нулевых начальных условиях определяется выражением .
Для вычисления установившейся составляющей можно воспользоваться выражением [1]:
. (4.11)
При гармоническом входном сигнале для вычисления установившейся составляющей можно использовать частотные характеристики системы. Пусть на входе системы v(t) , тогда установившееся значение выходного сигнала будет также гармоническим сигналом и может быть вычислено по выражению
, (4.12)
где – значение АЧХ, a – значение ФЧХ замкнутой системы при .
Пример 4.2. Рассмотрим систему управления, структура которой представлена на рис. 3.1. Как и в предыдущем примере, , . Пусть Т1 = 0,01 c; K1 = 10; K2 = 0,475. Входной сигнал v(t) = 1[t].
С учетом изображения входного сигнала найдем .
Используя (4.10) с учетом того, что характеристическое уравнение имеет два различных корня , , получим .
Из полученного выражения следует, что переходная составляющая с течением времени затухает, а установившаяся – постоянна и равна единице.
Вычислим установившуюся составляющую выходного сигнала при гармоническом входном сигнале , 10 рад/c, Т1 = 0,25 c, K1K2 = 25. Передаточная функция имеет вид , откуда, заменяя s на , получим , .
при значения и рад. Tаким образом, установившееся значение выходного сигнала будет равно .
Применение аналитических методов на практике ограничено из-за необходимости вычисления корней характеристического уравнения, построения по найденному аналитическому выражению переходной функции, нахождения показателей качества системы (tp, и др.). Чтобы обойти эти трудности, были разработаны приближенные графические методы построения переходной функции, вытекающие из связи hз(t) с вещественной частотной характеристикой замкнутой системы :
. (4.13)
Выражение (4.13) положено в основу приближенных графических методов построения . Суть этих методов заключается ваппроксимации характеристик и вычислении соответствующих составляющих переходного процесса. Например, А. А. Вороновым был предложен метод аппроксимации с помощью треугольных, а В. В. Солодовниковым – с помощью трапецеидальных характеристик.
Однако в связи с развитием вычислительной техники в настоящее время графо-аналитический метод вычисления переходной функции утратил свое прежнее значение. Переходной процесс любой САУ легко строится при проведении компьютерного эксперимента, например, в системе Matlab с помощью стандартных функций или с использованием средства Simulink после создания соответствующей математической модели исследуемой системы.
Дата добавления: 2015-02-07; просмотров: 1422;