Определение скоростей и ускорений звеньев

Скорости и ускорения ведомых звень­ев механизма могут быть определены методами планов, кинематических диа­грамм и аналитическими. Во всех слу­чаях в качестве исходных должны быть известны: схема механизма при опре­деленном положении ведущего звена, его скорость и ускорение.

Метод планов.Построение планов ско­ростей и ускорений проводится на осно­ве последовательного составления век­торных уравнений для всех групп, вхо­дящих в механизм, начиная с ведущего звена.

Для определения полной картины ско­ростей любого звена, входящего в груп­пу, достаточно знать линейные скорости двух точек этого звена или линейную скорость одной точки и угловую ско­рость звена. Так как скорости конеч­ных элементов звеньев групп известны, то необходимо выбрать общую для двух звеньев точку и записать два уравне­ния для определения скорости этой точки. Для групп первого, второго и четвертого видов это постоянная точка — центр средней вращательной пары группы, для дру­гих — мгновенная точка на одном зве­не, совпадающая в данный момент с центром конечной вращательной пары другого звена.

При составлении векторных уравне­ний следует четко установить точки, ско­рости которых используются как скорости в переносном движении. Если звенья группы образуют поступатель­ные кинематические пары, то необхо­димо использовать точки, принадлежа­щие направляющим звеньям.

Рис. 2.3. Кинематическое исследование группы-второго класса 2-го вида

В качестве примера рассмотрим пост­роение планов скоростей и ускорений группы второго класса второго вида.

План скоростей. В этой группе (рис. 2.3, а) полагаем, что скорости примы­кающих звеньев 1 и 4 заданы. Следова­тельно, скорость точки В₂, принадлежа­щей звену 2, равна скорости точки B_lt принадлежащей звену 1, т. е.

. Угловая скорость звена 3, образующего поступательную пару со звеном 4, равна заданной угловой ско­рости звена 4, т. е. . Следова­тельно, для отыскания скоростей вто­рого звена достаточно определить, кро­ме известной скорости точки В, ско­рость еще одной точки, а для третьего звена, кроме известной угловой скорости , также скорость какой-либо одной точки. Для решения этой задачи сле­дует рассмотреть движение общей для этих двух звеньев точки С — центра средней вращательной пары.

Рассмотрим движение звена 2 отно­сительно звена 1. Эти звенья образуют вращательную пару, поэтому на осно­вании теоремы о сложении скоростей в сложном движении скорость точки С на звене 2 складывается из скорости переносного (поступательного) дви­жения звена со скоростью v_B и скорости относительного (вращательного) движения звена 2 вокруг точки В:

(2.6)

где v_CB = .

Теперь определим скорость точки С, отнеся ее к третьему звену. Звено 3 образует со звеном 4 поступательную пару, поэтому скорость точки С₃ можно представить как сумму двух скоростей: скорости Vc₄ точки С₄, совпадающей с точкой С₃ и принадлежащей среде перено­са (в данном случае примыкающему звену 4), и скорости точки С₃ относительно точки С₄ в поступательном движении I звена 3 относительно звена 4 — Vc₃c₄, т. е.

. (2.7)

Точку С₄ расположим на плоскости, жестко связанной со звеном 4. Зная за­кон движения этого звена, можно най­ти мгновенный центр вращения (МЦВ) и при известных расстоянии его от точки С₄ и угловой скорости ω₄ опреде­лить величину и направление скорости этой точки.

Систему уравнений (2.6) и (2.7) решим графически в выбранном масштабе

на плане скоростей (рис. 2.3, б). Откладываем от полюса р_v параллель­но вектору скорости точки В отрезок р_vc₄ = (мм) и через конец этого отрезка проводим прямую, являющуюся линией действия вектора v_СB. Эта прямая пер­пендикулярна к линии ВС.

Далее из полюса р₀ плана скоростей параллельно вектору Vc₄ (рис. 2.3, а) откладываем отрезок (мм). Через конец этого отрезка (точку C₄) проводим прямую, параллельную нап­равляющей поступательной пары D, являющейся линией действия вектора относительной поступательной скорости .Так как

векторные суммы определяются точкой пересечения ли­ний действия относительных скоростей. Точку пересечения этих линий обозна­чим С, абсолютная скорость точки С определится из условия

. Из плана скоростей получим также величины и направления векторов от­носительных скоростей: вращательной Vcb — отрезок bc и поступательной — отрезок с₄с. Угловая скорость второго звена

, (2.8)

а направление ее определится мыслен­ным переносом вектора относительной скорости Vcb — отрезка bc плана ско­ростей в точку С на плане положения группы.

Пользуясь планом скоростей, можно найти скорость любой точки на звене. Скорость точки S на втором звене опре­делится из условия представления слож­ного движения звена 2 как поступа­тельного со скоростью V_B и вращательного вокруг точки В, а также как поступательного со скоростью Vc и вра­щательного вокруг точки С:

. (2.9)

Решая эту систему графически, опре­деляют точку s — конец вектора .

Из построения следует, что треуголь­ник csb на плане скоростей подобен тре­угольнику CSB на плане положений группы и повернут относительно него на 90°. Правильность построения опреде­ляется одинаковым порядком букв при обходе контура звена и контура относи­тельных скоростей на плане скоростей в одном и том же направлении.

План ускорений. Исходными данными для построения плана ускорений явля­ются план положения группы, план скоростей (рис. 2.3, а, б) и ускорения звеньев, примыкающих к данной груп­пе. При построении плана ускорений полностью применимы рассуждения, ис­пользованные при решении задачи об отыскании скоростей звеньев. Ускоре­ние точки В₂ известно, так как она сов­падает с точкой В₁

т. е. , угловое ускорение звена 3 известно, так как оно образует со звеном 4 поступательную пару, т. е. ε₃ = ε₄.

Для нахождения ускорения любой точки звеньев 2 и 3 дополнительно надо знать ускорение хотя бы одной точки на каждом из этих звеньев. В качестве такой точки следует использовать центр шарнира С, являющийся общей точ­кой для звеньев 2 и 3. Рассматривая вращательное движение звена 2 вокруг точки В и поступательное — звена 3 относительно звена 4, записываем сле­дующие векторные уравнения:

(2.10)

Систему уравнений (2.10) решим гра­фически. На чертеже (рис. 2.3, б) обоз­начим полюс плана ускорений р_a и выберем масштаб построения плана .

Откладываем от полюса р_а параллельно вектору ускоре­ния ав отрезок

p_ab = (мм). Нор­мальное ускорение точки С в относительном движении направлено от точ­ки С вдоль звена 2 к точке В; величину его, исходя из построенного плана ско­ростей (рис. 2.3, б), определим по фор­муле

. (2.11)

Из точки b плана ускорений проводим линию действия ускорения в направ­лении от точки С к точке В и откла­дываем отрезок bп = .

Из точки п перпендикулярно к отрез­ку bп проводим линию действия танген­циального ускорения .Далее из полюса р_а проводим линию параллель­но известному направлению ускорения , (рис. 2.3, а) и откладываем отрезок . Ускорение Кориолиса (поворотное ус­корение)

(2.12)

откладываем на плане ускорения в виде отрезка c₄k = (мм). Направление указанного отрезка определяется пу­тем поворота вектора относительной скорости с₄с на 90° в сторону вращения среды поворота — звена 4. Из точки k проводим линию действия ускорения a'cc₄, параллельную направляющей пос­тупательной пары, т. е. перпендикуляр­но к вектору ускорений .

Пересечение линий действия и , определит положение точки с.

Из плана ускорения получим также величины и направления векторов отно­сительных ускорений (м/с²) и(м/с²).

Угловое ускорение звена 2 определит­ся по формуле

(2.13)

Направление ε₂ устанавливается пу­тем мысленного переноса вектора пс в точку С и определения направления вращения звена 2 вокруг точки В под влиянием этого вектора.

Пользуясь планом ускорений, можно найти ускорение любой точки на звене 2 и 3. Например, требуется определить ускорение точки S на звене 2. На осно­вании известного положения о подобии фигур звена и плана относительных ус­корений строим на отрезке bc плана ускорений треугольник csb, подобный треугольнику CSB на звене 2, соблю­дая при этом одинаковую последова­тельность расположения букв при об­ходе контуров этих треугольников в одном направлении. Соединяя полу­ченную в результате построения точку s с полюсом р_а, получаем отрезок p_as, определяющий в масштабе ускорение точки S : .

Метод кинематических диаграмм.В тех случаях, когда необходимо устано­вить законы изменения скоростей и ус­корений за определенный промежуток времени движения звена, применяют метод кинематических диаграмм, ко­торый базируется на графическом диф­ференцировании и интегрировании.

Используя график движения ведомого звена по времени s = s(t) или , определяют скорость как первую производную пути по времени: , или

. Производные пропорциональны тангенсу угла наклона касательной в точках кривой графика перемещений.

При выполнении графического диф­ференцирования можно оперировать не только касательными, но и хордами, проводить которые удобнее (рис. 2.4). Тогда значение средней скорости на элементарном участке пути может быть выражено в виде , (2.14)

где Δs и Δt — элементарные перемеще­ние и время; а — угол, образованный хордой и осью абсцисс графика s = s (t). На участках графика (рис. 2.4, а), соответствующих делениям по оси абс­цисс, заменяем кривую отрезками пря­мой. Приняв полученную ломаную ли­нию за график пути, строим соответст­вующий ему график скорости. Для это­го слева от начала координат на рас­стоянии отметим точку , именуемую полюсом. Из полюса проводим лучи, параллельные хордам, которые на оси ординат отсекут отрезки 01'; 02¹ и т. д. Полученные отрезки пропорциональны тангенсам соответствующих углов а, для пятого участка, например, . Он представляет собой сред­нюю скорость движения ведомого звена в пределах рассматриваемого участка в масштабе

(2.15)

Для построения графика скорости v = v (t) следует полученные отрезки от­ложить параллельно оси ординат ново­го графика (рис. 2.4, б) в серединах со­ответствующих участков и соединить полученные точки плавной кривой.

Построение графика ускорений (рис. 2.4, в) по известному графику скорости следует проводить в таком же порядке, как и описанное выше построение гра­фика скорости по известному графику пути. В общем случае при дифференци­ровании графика v= v(t) получают только тангенциальную составляющую ускорения, так как . Для слу­чая прямолинейного движения танген­циальная составляющая равна полному ускорению.

Рис. 2.4. Кинематические диаграммы

Обозначив через Н_а полюсное рас­стояние, можно по аналогии с опреде­лением масштаба графика скорости получить масштаб графика ускорения

(2.16)

График перемещений по известному гра­фику скорости или график скорости при заданном графике ускорения можно построить с помощью графического ин­тегрирования. При интегрировании построение производят в порядке, об­ратном тому, какой принят при диффе­ренцировании. На отдельных участках графика

v = v (t) (рис. 2.5, а) прини­мается постоянная средняя скорость (штриховые линии). Величины отрез­ков, определяющих скорости, сносятся на ось ординат. Точ ки на оси ординат (например /', 2' и т. д.) лучами соеди­няются с полюсом , выбранным по оси абсцисс на расстоянии Н_v от начала координат. Затем в пределах соответ­ствующих делений по оси абсцисс гра­фика s = s (t) (рис. 2.5, б) последова­тельно проводят линии, параллельные лучам, исходящим из точки л. Оче­видно, что масштаб перемещений интег­рального графика .

Рис. 2.5.

Графическое интегрирование:

а – график скорости;

б – график перемещений

Аналитический метод. Этот метод поз­воляет определять скорости и ускоре­ния с более высокой точностью. Обычно применяют метод последовательного

дифференцирования функции перемеще­ния точки, скорость и ускорение которой необходимо определить. Функцию пе­ремещения s = s (t) или s = s (φ) можно получить из геометрических соображе­ний, как, например, это сделано для кривошипно-ползунного механизма — формула (2.5), а ее скорость и ускоре­ние — путем дифференцирования урав­нений (2.3).

Дифференцируя уравнения (2.3) по обобщенной координате φ₁ (углу пово­рота ведущего звена), получают не истинную угловую скорость, а безраз­мерную величину , получившую название аналога угловой скорости. Связь между аналогом скорости и дейст­вительной угловой скоростью i-ro зве­на определится из соотношения

, т. е. угловая скорость i-го звена равна произведению угловой скорости ведущего звена на аналог скорости. Продифференцировав уравнения (2.3) и подставив значение аналога скорости, получаем уравнения для определения угловой скорости шатуна (рис. 2.2) и относительной скорости звена 3 —

(2.17)

Определим значение из второго урав­нения (2.17)

и подставим его в первое уравнение, с учетом формулы (2.4) получим значение

= . (2.18)

При вторичном дифференцировании уравнений (2.3) с использованием поня­тия аналога углового ускорения, пред­ставляющего вторую производную по

углу поворота ведущего звена , можно определить действительное уско­рение i-ro звена, умножив аналог углового ускорения на квадрат угловой скорости ведущего звена . При этом принимая, что = const, получают уравнения для определения углового ускорения шатуна ε₂ и относительного ускорения звена :

(2.19)

Из уравнения (2.19) получим значение

Получив значения угловых скоростей и ускорений, можно определить ско­рость и ускорение любой точки звеньев механизма. В тех случаях, когда , пользуются приближенными фор­мулами при определении перемещения, скорости и ускорения ползуна. При этом перемещение ползуна Sс измеряем от мертвого положения С_о (рис. 2.2): Sc = , или с учетом (2.5) получим

(2.20)

Раскладывая в ряд радикал, входящий в формулу (2.20) по биному Ньютона и ограничиваясь его первыми двумя чле­нами, получим

(2.21)

После дифференцирования скорость Vc и ускорение определяют по формулам:

(2.22)

(2.24)

Пример. Построить план скоростей и ускоре­ний механизма поперечно-строгального станка (рис. 2. 6,а), у которого = 0,1 м; l_CD = 0,3 м; l_АС = 0,125 м при = 10 с-¹.

В результате структурного анализа устанавливаем в механизме наличие группы пятого вида — звенья 4 (ползун) и 5 (резцовая головка), образующие кинематические пары D₄, Е (внешние), D₅ (внутреннюю), и третьего вида — звенья 2 (ползун) и 3 (кулиса), образующие ки­нематические пары В₂, С (внешние), В₃ (внутрен­нюю).

Для отыскания скоростей звеньев 2 и 3 опре­деляем скорость общей точки на этих двух звень­ях, совпадающей с центром вращательной пары. Такой точкой будет точка В₃ на звене 3, совпада­ющая в данный момент с точкой В₂.

Скорость точки В_2, являющейся общей для ведущего звена (палец кривошипа) и звена 2 (внешняя пара), определяем из условия

Скорость точки С, принадлежащей стойке, равна нулю. Скорость точки В₃ звена 3 определим через известные скорости точек звеньев, примы­кающих к звену 3,— точки В₂ на звене 2 и точки С на звене 0: ; .. D₄

Выбираем масштаб плана скоростей . Скорость откладываем от полюса (рис.2.6, б) в виде отрезка p_vb₂ = 1/0,05 = 20 мм, перпендикулярного к кривошипу 1. Скорость v_с = 0 определяется точкой, совпада­ющей с полюсом р_v. Через точки b₂ и с проводим соответственно линии действия скоростей — параллельно звену 3 (кулисе) и — перпен­дикулярно к кулисе. Пересечение линий дей­ствия скоростей и в точке b₃ на плане скоростей определяет значение абсолютной и относительных и скоростей:

Угловая скорость кулисы согласно фор­муле (2.8)

Определяем скорости звеньев группы пятого вида. Аналогично предыдущему выбираем на звене точку D₅, совпадающую с центром враща­тельной пары D₄. Скорость точки D₅ определим через известные скорости точек звеньев, примы­кающих к звену 5: точки D₄ на звене 4 и D_o на звене 0.

Рис.2.6. Кинематический анализ механизма поперечно-строгального станка

Скорость центра вращательной пары D₄, являющейся внешней для группы 4—5, равна скорости точки D₃ звена 3. Из подобия плана от­носительных скоростей плану звена

Скорость точки D_o на стойке равна нулю;

Через точки d₄ и d₀ плана скоростей проводим линию действия скорости параллельно направляющей поступательной пары 4—5 и — параллельно направляющей поступа­тельной пары 5—6 до их пересечения в точке D₅. Абсолютная скорость точки D₅

На основании аналогичных рассуждений строится план ускорений механизма. Векторные уравнения для определения ускорения точки В₃ имеют вид

Ускорение точки В₂ как совпадающей с точкой В₁ пальца кривошипа

/

Откладываем в выбранном масштабе параллельно кривошипу 1 в направ­лении от точки В₁ до А (рис. 2.6, b) в виде отрезка . Ускорение точки С a_c = 0, следовательно, точка с будет находиться в полюсе плана ускорений р_a.

Величины нормального ускорения и кориолисова определим по формулам, анало­гичным формулам (2.11) и (2.12), пользуясь пла­ном скоростей (рис. 2.6, б):

Эти ускорения в виде соответствующих отрезков и

откладываем на плане ускорений: первый от точки с параллельно звену 3 в направлении от точки В₃ к точке С; на­правление второго отрезка определится поворо­том вектора относительной скорости вокруг своего начала (точки b₂) в сторону направления вращения кулисы 3 (среды переноса). Через точки п и k проводим перпендикулярно к отрез­кам сп и b₂k линии действия ускорения и .Пересечение этих линий даст точку b₃, определяющую конец вектора ускорения точки .

Угловое ускорение третьего звена по форму­ле, аналогичной формуле (2.13),

_. Направление его можно установить, как указано ранее.

Из подобия плана относительных ускорений плану звена определим ускорение

и в масштабе откладываем его в виде отрезка

Для определения ускорения точки D₅ со­ставим векторные уравнения:

Кориолисовы ускорения и равны нулю вследствие того, что угловые скорости сре­ды переноса w₅ и w₀ равны нулю. Поэтому через точки d₄ и d₀ (находящиеся в полюсе р_а) проводим линии действия относительных ускорений и параллельно направляющим поступа­тельных пар, образованных звеньями 4—5 и 5—0 соответственно.

На пересечении указанных линий определится положение точки d₅, и, следовательно, полное ускорение