Неравномерная сетка. Изолинии

Неравномерной сеткой назовем модель описания поверхности в виде множества отдельных точек {(х₀, у₀, z₀), (х₁, у₁, z₁), ..., (х_n-1, у_n-1, z_n-1)} принадлежащих поверхности. Эти точки могут} быть получены, например, в результате измерений поверхности какого-либо объекта с помо­щью определенного оборудования.

Такую модель можно считать обобщением для некоторых рассмотренных нами моде­лей. Например, векторная полигональная модель и равномерная сетка могут считаться раз­новидностями неравномерной сетки. Эти разновидности мы рассмотрели в отдельности, так как они играют важную роль при решении задач КГ. А вообще, может существовать не один вариант классификации способов описания поверхностей. Следует учитывать определенную условность нашего перечня моделей поверхностей, последовательность перечисления таких моделей может быть и другой.

Рис. 6.13. Триангуляция неравномерной сетки

Рассмотрим модель описания поверхности в видемножества точечных значении, логически никак не связанных между собою. Неравномерность задания опорных точек усложняет определение координат для других точек поверхности, которые не совпадают с опорными точка­ми. Нужны специальные методы пространственной интерполяции. Так, например, можно поставить такую задачу - по известным координатам (х, у) вычислить значение координаты z. Для этого необходимо найти несколько ближайших точек, а потом рассчитать искомое значение, исходя из взаимного расположения этих точек в проекции (x,y). Как мы уже рассмотрели выше, для равномерной сетки это намного проще— поиска фактически нет, мы сразу вычисляем индексы ближайших опорных то­чек. Еще одна задача — отобразить поверх­ность. Эту задачу можно решать нескольки­ми способами, в том числе триангуляцией. Процесс триангуляции можно представить себе так (рис. 6.13).

Сначала находим первые три самые близкие друг другу точки — и получаем одну плоскую треугольную грань. Потом находим точку, ближайшую к этой грани, и образуем смежную грань. И так далее, пока не ос­танется ни одной отдельной точки. Это общая схема, в литературе описано много разных спо­собов триангуляции. Довольно часты ссылки на триангуляцию Делон.

Пусть нужно связать треугольниками четыре точки. Возможны два варианта триангуля­ции (рис. 6.14).

В cоответствии с критерием Делоне ни одна окружность, проходящая через три точки любого треугольника, не должна охватывать точки, которые принадлежат другим тре­угольникам. Здесь необходимо указать, что не всегда триангуляция Делоне дает нужный результат. Может так случиться, что необходимо соединять точки треугольниками вопреки указанному выше критерию. Например, кроме точек триангуляции нужно учитывать осо­бенности формы некоторых структурных элементов — горных хребтов, ям с отвесными стенами и т.п. Тогда нужно соответственно управлять триангуляцией.

Представление поверхности треугольными гранями в настоящее время очень часто ис­пользуется в разнообразных областях — от компьютерных игр и фильмов до систем авто­матизированного проектирования и ГИС. Треугольник сейчас — базовый элемент для со­временных видеоадаптеров. В англоязычной литературе для триангуляционной модели встречается и такое название: TIN (Triangulated Irregular Network)

Следует заметить, что, по всей видимости, преобразование неравномерной сетки в три­ангуляционную модель в ходе визуализации нецелесообразно. Для обеспечения высокой скорости графики, например в режиме анимации, следует заранее один раз преобразовать неравномерную сетку во множество треугольников (а это по нашей классификации уже векторная полигональная модель), а затем в ходе создания кадров многократно использовать готовый результат триангуляции.

Рис. 6.14. Триангуляция в соответствии с критерием Делоне

Рассмотрим еще один из вариантов описания поверхности — изолинии высоты. Любая изолиния состоит из точек, которые представляют одно числовое значение какого-либо по­казателя, в данном случае — значение высоты (рис. 6.15). Изолинии высоты также можно представить себе как контуры разреза поверхности горизонтальными плоскостями (поэто­му для изолиний высоты часто используется название "горизонтали").

Описание поверхности изолиниями высоты часто используется, например, в картогра­фии. По бумажной карте можно с определенной точностью рассчитать высоту в точках ме­стности, углы наклона и прочие параметры рельефа. Необходимо заметить, что описание рельефа земной поверхности изолиниями высоты неправильно представлять как разрезы горизонтальными плоскостями, так как поверхность Земли не плоская. Если бы Земля была шаром, то изолинии высоты можно было бы трактовать как изолинии радиусов. Однако Земля — не шар, она имеет намного более сложную форму, названную геоидом. В геодезии и картографии геоид аппроксимируют с определенной точностью разнообразными эллипсоидами. Таким образом, здесь можно говорить об изолиниях некоторых условных высот в специальных системах координат.

Конечно, для описания поверхности можно использовать не только изолинии высоты, а также другие изолинии, например х- или у-изолинии.

В компьютерных системах изолинии часто описываются векторно — как полилинии. Используются также изолинии в виде сплайновых кривых.

Точки, которые составляют изолинии, и отдельные опорные точки располагаются нерав­номерно.

Рис. 6.15 Пример поверхности: а — изолинии высоты; б — вид поверхности; в — фрагмент триангуляционной сетки; г — поверхность из треугольников (здесь нарочно подчеркнуты отдельные треугольные грани)

Это усложняет расчет координат точек поверхности. В графических компьютерных системах для выполнения многих операций, и в первую очередь — для показа поверхности, обычно необходимо преобразовать описание поверхности в другую форму. Преобразование изолиний в полигональную модель также выполняется методами триангуляции (здесь алго­ритмы триангуляции сложнее, чем для триангуляции массива отдельных точек). Для преобра­зования неравномерной сетки в равномерную используют специальную интерполяцию.

Положительные черты неравномерной сетки: наглядность показа рельефа поверхности изолиниями на картах, планах; использование отдельных опорных точек, наиболее важных для заданной формы поверхности, обуславливает меньший объем информации по сравне­нию с другими моделями, например, с равномерной сеткой.

Недостатки неравномерной сетки: невозможность или сложность выполнения многих операций над поверхностями; сложные алгоритмы преобразования в другие формы описа­ния поверхностей.