Давление жидкости на криволинейные стенки.

2.8.1. Определение равнодействующей силы давления
в трехмерном измерении

Всякую кривую стенку можно рассматривать как предел, к ко­торому стремится многогранник, вписанный (или описанный) в кривую поверхность стенки, при безграничном уменьшении размеров граней (рис. 2.29). Таким образом, полное давление жидкости на кривую стенку можно найти, суммируя давление на плоские, грани много­гранника, вписанного (или описанного) в заданную поверхность, и переходя затем к пределу. Однако так как плоские грани многогранника будут пересекаться между собой под различными углами, то и силы давления, приложен­ные к этим граням, не будут между собой параллельны. В этом случае сила полного давления не будет равна алгебраической сум­ме сил составляющих и для опре­деления суммарного давления придется прибегнуть к методу проек­ций.

Рис. 2.29. Давление на сегмент криволинейной стенки

Из теоретической механики (статики) известно, что проекция равнодействующей системы сил на какую-нибудь ось равна алге­браической сумме проекций сил составляющих на ту же ось. Сила, действующая на грань А, грань весьма малую (размер которой обозначим ΔS), будет тоже величина малая ΔP. Спроектируем эту силу на три оси координат Х, Y и Z. Тогда, обозначив проекции ΔP на оси соответственно ΔP_x, ΔP_y и ΔP_z, напишем:

(27)

При этом сила

.

Итак,

(2.31)

Как известно, площадь проекции какого-либо плоского элемента на какую-нибудь плоскость равна произведению площади этого элемента на косинус угла, образуемого перпендикулярами, проведен­ными к обеим плоскостям.

Поэтому произведения элемента площади ΔF на соответствующие косинусы будут равны проекциям этой площади на плоскости координатного трехгранника:

В самом деле, ΔP перпендикулярно ΔF, а х - координатной плоскости ZOY.

Точно так же имеем:

и, следовательно,

(2.32)

Подобным же образом давление на грань В (рис.2.29) (размеры которой обозначим ΔW), равное Δτ, может быть разложено на три составляющих по осям Х, Y и Z:

(2.33)

На основании формулы (2.31) можно написать, что избыточные средние гидростатические давления на грани А и В соответственно равны

Теперь остается просуммировать соответственные проекции и определить таким образом проекции Р_х, Р_у и Р_z равнодействующей, т. е. силы Р - полного давления жидкости - на кривую стенку. На основании формул (2.32) и (2.33) напишем:

(2.34)

Итак, чтобы найти горизонтальные проекции силы Р, а именно Р_x и Р_у, следует определить давления на соответствующие проекции граней многогранника на вертикальные плоскости координатного трехгранника и затем их алгебраически сложить. В самом деле, произведение представляет собой давление жидкости на вертикальную плоскую стенку, размер которой равен проекции грани А многогранника на вертикальную плоскость YOZ.

Точно так же равно давлению жидкости на вертикаль­ный элемент плоскости YOZ, отображающий проекцию элемента многогранника, вписанного в поверхность кривой стенки.

Итак, проекция на какую-либо горизонтальную ось силы полного давления жидкости на кривую стенку равна полному давлению жид­кости на фиктивную вертикальную стенку. Величина и форма этой фиктивной стенки равны проекции данной кривой стенки на плос­кость, перпендикулярную направлению горизонтальной оси.

Таким образом, проекция Р_x равна давлению жидкости на плос­кую стенку L, величина которой равна проекции кривой стенки К на плоскость YOZ.

Проекция силы Р на ось Y аналогично представится как сила полного давления жидкости на вертикальную плоскую стенку М, величина которой в точности равна проекции кривой стенки на плоскость XOZ.

Вертикальная проекция силы Р (на ось Z) на основании формул (2.33) и (2.34) равна:

(2.35)

Из рис. нетрудно видеть, что выражения, стоящие в скобках, представляют собой объемы жидкости, расположенные над соответ­ствующими элементами граней многогранника. В самом деле, произ­ведение соответствует объему столбика, в основании которого лежит элемент многогранника А, а высота равна глубине, на которой лежит этот элемент А (рис. 2.30) под уровнем жидкости.

Рис. 2.30. Проецирование фигур

Если произвести суммирование формулы (2.35), то, как нетрудно убедиться, выражение, заключенное в скобки, будет равно объему жидкости, расположенному над всей кривой стенкой, а вертикальная проекция силы полного давления

(2.36)

окажется равной весу жидкости, взятой в объеме V, расположенном над всей кривой стенкой.