Стоячая электромагнитная волна.

Стоячую упругую волну можно представить как результат суперпозиции двух одинаковых волн, бегущих навстречу друг другу. Это относится и к электромагнитным волнам. Однако надо учесть, что электромагнитная волна характеризуется не одним вектором, а двумя взаимно ортогональными векторами и .

Пусть волна распространяется в положительном направлении оси Х и описывается уравнениями:

(6.1)

Уравнения волны, распространяющейся в обратном направлении, можно получить из (11), если заменить в скобках минусы на плюсы и учесть, что векторы , , должны составлять правую тройку. Это поясняет рис. 6.1, где слева (а) и меняются в фазе — волна (6.1.), а справа и — в противофазе (во встречной волне).

Последнее утверждение означает, что перед или должен появиться знак минус. Тогда, уравнения встречной волны будут иметь вид:

(6.2)

Рис. 6.1.

В результате суперпозиции этих двух встречных волн, (6.1) и (6.2), используя формулы сложения тригонометрических функций

и

:

получим:

(6.3)

Это и есть уравнения стоячей электромагнитной волны. Они состоят из двух стоячих волн — электрической и магнитной. Видно, что в этой волне колебания векторов и сдвинуты по фазе на как в пространстве, так и во времени. Если в некоторый момент во всех точках имело максимальное значение и при этом , то через четверть периода картина будет обратной: достигнет всюду максимальных значений со сдвигом в пространстве на , а обратится в нуль.

Таким образом, в процессе колебаний электрическое поле постепенно переходит в магнитное, магнитное — в электрическое и т. д. (рис. 2.4).

Поскольку колебания векторов и происходят не в фазе, известное соотношение между модулями векторов и

оказывается справедливым только для амплитудных значений и стоячей волны:

Рис. 6.2

С электромагнитной волной связан перенос энергии. Плотность потока энергии можно найти с помощью формулы как произведение объёмной плотности энергии на скорость волны .

В обычной изотропной среде с проницаемостями и плотность энергии электромагнитного поля равна сумме плотностей энергии электрического и магнитного полей:

(6.5)

В данной среде соотношение между и справедливо и , а это означает, что плотность электрической энергии в бегущей волне равна плотности магнитной энергии. Поэтому (6.5) можно записать так:

(6.6)

где - фазовая скорость, - скорость света, - показатель преломления среды.

В стоячей электромагнитной волне энергия переходит из чисто электрической, имеющей максимумы в пучностях , в магнитную с максимумами в пучностях вектора , т.е. смещённым в пространстве на . Это аналогично поведению гармонического осциллятора, например, математического маятника, энергия которого переходит их чисто потенциальной (в крайнем положении) в кинетическую (в положении равновесия), и наоборот. Важно понять, что стоячая волна не переносит энергии.

Отметим, что если волна представляет собой наложение двух бегущих волн с взаимно перпендикулярными плоскостями поляризации (направлениями колебаний вектора ), то её интенсивность независимо от особенностей этих волн будет равна сумме интенсивностей складываемых волн. Действительно, , а интенсивность . Поскольку , скалярное произведение , и мы имеем . Это значит, что волны со взаимно перпендикулярными плоскостями поляризации не интерферируют.

Релей и Джинс предполагали, что на каждую стоячую волну приходится в среднем энергия , равная двум половинкам - одна половинка на электрическую, вторая - на магнитную составляющую энергии волны. Рассчитав количество стоячих волн, приходящихся на единицу объёма полости и умножив на , получим плотность энергии, приходящуюся на интервал частот . Используя соотношение между равновесной плотность теплового излучения и излучательной способностью чёрного тела и интегрируя по частотам, получим выражение зависимости излучательной способности чёрного тела от частоты.

Таким образом, применяя к тепловому излучению классический закон равнораспределения энергии по степеням свободы, Рэлей и Джинс получили выражение для зависимости испускательной способности чёрного тела от частоты света:

(6.7)

где - средняя энергия осциллятора с собственной частотой v.

Однако попытка получить закон Стефана-Больцмана из этой формулы приводит к абсурдному результату - неограниченно растет, достигая чрезвычайно больших значений в ультрафиолете, — который получил название"ультрафиолетовая катастрофа":

Рис. 6.3.

Формула Рэлея-Джинса согласуется с экспериментом только в области малых частот (больших длин волн) и больших температур.

В области больших частот хорошо описывает экспериментформула Вина (закон излучения Вина), полученная им из общих термодинамических представлений:

(6.8)

где и— константы.

Таким образом, исходя из классических законов, были получены две формулы описывающие излучение чёрного тела или только в области низких частот или в только области высоких частот.

Квантовая гипотеза Планка

Теоретическое объяснение законов теплового излучения абсолютно чёрного тела имело огромное значение в истории физики - оно привело к понятию квантов энергии. С классической точки зрения вывод формулы Релея – Джинса является безупречным. Поэтому расхождения этой формулы с экспериментом указывало на существование каких – то закономерностей несовместимых с представлением классической физики. В 1900 году Планку удалось найти вид функции в точности соответствующей экспериментальным данным.

Макс Планкпредположил, что теория классического гармонического осциллятора неприменима к атомным осцилляторам; атомные осцилляторыизлучают энергиюне непрерывно, а определённымипорциями — квантами. Энергия одного кванта:

(7.1)

где = 6,626∙20^-34 Дж∙с - постоянная Планка, - нормированная постоянная Планка, - циклическая частота.

В механике есть имеющая размерность "энергия × время" величина, которая называется действием. Поэтому, постоянную Планка иногда называютквантом действия. Размерность совпадает с размерностью момента импульса.

Поскольку энергия излучается порциями, то энергия осциллятора может принимать лишь определённыедискретные значения, кратные целому числу квантов:

(7.2)

где - число квантов. Среднюю энергию осцилляторов нельзя принимать равной , как это делал Джинс, поскольку это приводит к "ультрафиолетовой катастрофе".

В состоянии равновесия распределение колебаний по значениям энергии должно подчиняться распределению Больцмана. Это распределение показывает, что энергии осцилляторов располагаются на шкале энергии с большей плотность там, где их энергия меньше. Вероятность , того, что энергия колебания осциллятора частоты имеет значение , определяется выражением (1.13):

(7.3)

где - число осцилляторов с энергией ; - полное число осцилляторов. Если в полости, представляющей собой модель абсолютно чёрного тела, имеется осцилляторов, то среднее значение энергии излучения с частотой , приходящейся на один осциллятор

Вычисления дают выражение для средней энергии осцилляторов:

(7.4)

Следует заметить, что при , формула переходит в классическое выражение .

Подставив (7.4) в формулу полученную Джинсом (6.7) Планк получил универсальную функцию Кирхгофа в виде,