Однородная СЛАУ.

В однородной СЛАУ столбец свободных членов равен нулю. Эта СЛАУ имеет вид

(4.8)

В однородной СЛАУ нулевой столбец не меняется при элементарных преобразованиях над строками расширенной матрицы. Поэтому в ней ранг матрицы коэффициентов всегда равен рангу расширенной матрицы: r(A) = r(A|B). Тогда, по теореме Кронекера-Капелли любая однородная СЛАУ всегда совместна и, согласно ее виду (4.8), всегда имеет нулевое (тривиальное) решение: х₁ = … = х_n = 0. Если при этом ранг матрицы коэффициентов равен числу неизвестных (r(A) = n), то для однородной СЛАУ нулевое решение является единственно возможным.

Теорема 1.

Для того, чтобы однородная СЛАУ имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы коэффициентов был меньше числа неизвестных (r(A) < n).

Доказательство.

1) Необходимость. Предположим обратное, то есть, что r(A) = n, где n – число неизвестных. Тогда порядок базисного минора M_n будет равен n, так как r(M_n) = r(A) = n. Следовательно, по формулам Крамера однородная СЛАУ будет иметь единственное решение – нулевое: x_i = = 0, где D_i = 0, а D ¹ 0. Таким образом, при r(A) = n однородная СЛАУ ненулевых решений не имеет.

2) Достаточность. Пусть r(A) < n, тогда по следствию 2 теоремы Кронекера-Капелли однородная СЛАУ будет совместной и неопределенной, то есть она будет иметь бесконечное множество решений, в том числе и ненулевых. Fin.

Теорема 2.

Для того, чтобы квадратная однородная СЛАУ имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее главный определитель равнялся нулю (D = 0).

Доказательство.

1) Необходимость. По вышеприведенной теореме 1, если однородная СЛАУ имеет ненулевые решения, то ранг ее матрицы коэффициентов должен быть меньше числа неизвестных (r(A) < n). Следовательно, главный определитель квадратной однородной СЛАУ должен быть равен нулю (D = 0).

2) Достаточность. Если главный определитель квадратной однородной СЛАУ равен нулю (D = 0), то ранг ее матрицы коэффициентов будет меньше числа неизвестных (r(A) < n). Поэтому такая СЛАУ имеет бесконечное множество ненулевых решений. Fin.

Пример. Найти ненулевые решения однородной СЛАУ.

Решение. Запишем расширенную матрицу СЛАУ и элементарными преобразованиями над строками приведем ее к ступенчатому виду.

_-3 ~ ~ = B

Число неизвестных n = 4 > 2 = r(A) = r(А_В), тогда по теореме 1 однородная СЛАУ помимо нулевого решения имеет и ненулевые решения. Найдем их. Полученной ступенчатой расширенной матрице В соответствует ступенчатая СЛАУ

Чтобы решить ее, в качестве базисных можно взять неизвестные х₁ и х₂, так как коэффициенты при них образуют один из базисных миноров М₂ = = 1 ¹ 0. Следовательно, остальные неизвестные – свободные. Переобозначим их: х₃ = с₃, х₄ = с₄ и перенесем в правую часть соответствующих уравнений.

Ответ: х₁ = 2с₃-с₄; х₂ = 3с₃+2с₄; х₃ = с₃; х₄ = с₄, где с₃, с₄ - const.

Приложение 1.

Индивидуальная домашняя работа (ИДР) по теме:

«Линейная алгебра».

1) Пользуясь свойствами определителей, доказать тождество.

2) Вычислить А^Т; А×А^Т и ½А½.

3) Решить квадратную СЛАУ:

а) с помощью обратной матрицы;

б) по формулам Крамера.

4) Выполнить действия над матрицами.

5) Найти значения l, для которых существует обратная матрица А^-1.

6) Найти ранг r(A) матрицы А.

7(а, б) Исследовать СЛАУ на совместность и решить методом Гаусса.

8) Найти ненулевые решения однородной СЛАУ.

Вариант 1.

1)

2) А =

3)

4) А= ; В= ; А² - В^-1×A=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

Вариант 2.

1)

2) А =

3)

4) А= ; В= ; (А×B)^-1 + B×A^-1=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

Вариант 3.

1)

2) А =

3)

4) А= ; В= ; А×В^-1 + 2B×A=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

Вариант 4.

1)

2) А =

3)

4) А= ; В= ; А^-1×B - A×B^-1=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

Вариант 5.

1)

2) А =

3)

4) А= ; В= ; А² - В^-1×A=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

Вариант 6.

1)

2) А =

3)

4) А= ; В= ; А² - В×A^-1=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

Вариант 7.

1) =2

2) А =

3)

4) А= ; В= ; А×B^-1 + В×A=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

Вариант 8.

1)

2) А =

3)

4) А= ; В= ; B×A^-1 - A×B^-1=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

Вариант 9.

1)

2) А =

3)

4) А= ; В= ; 2(А×B)^-1 - A×В = ?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

Вариант 10.

1)

2) А =

3)

4) А= ; В= ; 2В^-1×A + B×A=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

Вариант 11.

1) =0

2) А =

3)

4) А= ; В= ; 2(B×А)^-1 + В×A=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

Вариант 12.

1) =0

2) А =

3)

4) А= ; В= ; А×B^-1 + 2(B×A)^-1=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

Вариант 13.

1)

2) А =

3)

4) А= ; В= ; B^-1×А + В×А^-1=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

Вариант 14.

1) =0

2) А =

3)

4) А= ; В= ; В×A^-1 + B×А=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

Вариант 15.

1)

2) А =

3)

4) А= ; В= ; А^-1×B + В^-1×А=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

Вариант 16.

1)

2) А =

3)

4) А= ; В= ; А×В - В^-1×А^-1=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

Вариант 17.

1)

2) А =

3)

4) А= ; В= ; (B×A)^-1 + A×B^-1=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

Вариант 18.

1)

2) А =

3)

4) А= ; В= ; В^-1×A + 2A×B=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

Вариант 19.

1)

2) А =

3)

4) А= ; В= ; A^-1×B + B×A=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

Вариант 20.

1)

2) А =

3)

4) А= ; В= ; (А×В)^-1 + A×B=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

Вариант 21.

1)

2) А =

3)

4) А= ; В= ; B×А^-1 - В×A=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

Вариант 22.

1) =

2) А =

3)

4) А= ; В= ; А×B^-1 + (A×B)^-1=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

Вариант 23.

1)

2) А =

3)

4) А= ; В= ; B×A^-1 - A×B^-1=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

Вариант 24.

1)

2) А =

3)

4) А= ; В= ; 2А×B^-1 + A^-1×В = ?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

Вариант 25.

1)

2) А =

3)

4) А= ; В= ; 2В^-1×A + B×A^-1=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

Вариант 26.

1) =0

2) А =

3)

4) А= ; В= ; (B×А)^-1 - 2A×В=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

Вариант 27.

1) =0

2) А =

3)

4) А= ; В= ; B^-1×A + (A×B)^-1=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

Вариант 28.

1)

2) А =

3)

4) А= ; В= ; А^-1×B + A×В^-1=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

Вариант 29.

1) =0

2) А =

3)

4) А= ; В= ; B^-1×A - (B×A)^-1=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

Вариант 30.

1)

2) А =

3)

4) А= ; В= ; (B×A)^-1 - B×A^-1=?

5) А=

6) А= ; r(A)=?

7(а)

7(б)

8)

Приложение 2.