Образец выполнения индивидуальной домашней работы (ИДР).

1) Пользуясь свойствами определителей, доказать тождество = 0

Решение. Пользуясь свойствами определителей 7), 4) и 6), получим

= + = x× +2x× = 0 + 0 = 0.

2) Дано: А = . Найти А^Т; А×А^Т и ½А½.

Решение.

1) А^Т = ; 2) А×А^Т = × = = ; 3) ½А½= = = =2× = 2× = 2× = 2×(-12) = -24.

3) Решить квадратную СЛАУ .

а) матричным способом;

б) по формулам Крамера.

3а) Решение квадратной СЛАУ матричным способом

В этой СЛАУ А= .

α) Методом элементарных преобразований найдем обратную матрицу А^-1:

(A|E) = ~ ~ ~

~ ^-3 ~ ~ Þ А^-1=

β) Проверка: А^-1×А = × = = Е

γ) По формуле (4.3) находим решение СЛАУ:

Х=А^-1×В Þ = × Þ х₁ = 1; х₂ = 2; х₃ = -1

δ) Проверка. Подставляя значения х₁ = 1, х₂ = 2, х₃ = -1 в исходную систему уравнений, получим

2×1+3×2+5×(-1)=3 Û 3º3

1+2+(-1)=2 Û 2º2

1+3×2-2×(-1)=9 Þ 9º9

Ответ: х₁ = 1, х₂ = 2, х₃ = -1.

3б) Решение квадратной СЛАУ по формулам Крамера:

Главный определитель системы равен

D= = = = = 9 ¹ 0 Þ данная СЛАУ имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера.

D₁ = = - = - = - = = 9 Þ

Þ х₁ = = 1.

D₂ = = = = - = 18 Þ х₂ = = 2.

D₃ = = = = - = -9 Þ х₃ = = -1.

Ответ: х₁ = 1, х₂ = 2, х₃ = -1.

4) Выполнить действия над матрицами: (А^-1)² + В×А, если А= , В= .

а) Методом элементарных преобразований над строками найдем обратную матрицу А^-1.

Решение: а) А_Е=(A|E)= ^-1 ~ ~ ~ ~ ^-1 ~

~ ~ Þ ÞА^-1= .

Проверка: А^-1×А = × = = Е;

б) (А^-1)² = × = ;

в) В×А = × = ; г) (А^-1)² + В×А = + = = .

5) Найти значения l, для которых существует обратная матрица А^-1, если А= .

Решение. Обратная матрица А^-1 существует, когда исходная матрица А является невырожденной, то есть ее определитель |А| ¹ 0. Найдем значения l, при которых определитель |А| = 0 и, исключив их, определим те значения l, при которых обратная матрица А^-1 существует. Для этого разложим определитель данной матрицы по 3–му столбцу, так как он содержит только один ненулевой элемент (λ–2):

= (-1)⁶×(l-2) = (l-2)×((l-2)² -1) = 0

а) l = 2; б) (l-2)² - –1 = 0 Þ l² - 4l + 3 = 0 Þ = 1; 3.

Таким образом, при l = 1; 2; 3 обратная матрица А^-1 не существует. Значит, она существует во всех остальных случаях, когда l ¹ 1; 2; 3.

Ответ: Обратная матрица А^-1 существует при l ¹ 1; 2; 3.

6) Найти ранг r(А) матрицы А, если А= .

Решение. Элементарными преобразованиями приведем матрицу А к ступенчатому виду.

А= ~ ~ ~

~ = В Þ r(A) = r(B) = 3. Ответ: r(A) = 3

7(а) Исследовать СЛАУ на совместность и решить методом Гаусса.

Решение. Запишем расширенную матрицу СЛАУ и элементарными преобразованиями над строками приведем ее к ступенчатому виду.

~ ~ ~

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Þ Число неизвестных n = 4 = r(A) = =r(A|B), то есть ранги матрицы коэффициентов и расширенной матриц равны числу неизвестных. Тогда по теореме Кронекера-Капелли данная СЛАУ совместная и определенная. Полученная ступенчатая расширенная матрица СЛАУ соответствует ступенчатой СЛАУ

Проверка:

2×(-2)-2×1+3+3=0 Û 0º0

2×(-2)+3×1+4-3×3+6=0 Û 0º0

3×(-2)+4×1-4+2×3=0 Û 0º0

-2+3×1+4-3-2=0 Û 0º0

Ответ: х₁ = -2, х₂ = 1, х₃ = 4, х₄ = 3.

7(б) Исследовать СЛАУ на совместность и решить методом Гаусса.

Решение. Запишем расширенную матрицу СЛАУ и элементарными преобразованиями над строками приведем ее к ступенчатому виду.

_-2 ~ ~ ~ ~ Þ Число неизвестных n = 4 > 2 = r(A) = r(A|B). По теореме Кронекера-Капелли данная система совместная и неопределенная. Полученная ступенчатая расширенная матрица СЛАУ соответствует ступенчатой СЛАУ

Поскольку число уравнений больше числа неизвестных, то нужно выбрать базисные неизвестные. В качестве базисных можно взять неизвестные х₁, х₂, так как коэффициенты при них образуют один из базисных миноров М₂ = = 11 ¹ 0.

Следовательно, остальные неизвестные х₃, х₄ – свободные. Зафиксируем их и, чтобы отличить от базисных неизвестных, переобозначим: пусть х₃ = с₃, х₄ = с₄. Перенесем их в правую часть соответствующих уравнений и выразим через них базисные неизвестные х₁ и х₂:

Ответ: х₁ = 1/11(1-14с₃+2с₄); х₂ = 1/11(2-6с₃-7с₄); х₃ = с₃; х₄ = с₄

8) Найти ненулевые решения однородной СЛАУ.

Решение. Запишем расширенную матрицу системы и элементарными преобразованиями над строками приведем ее к ступенчатому виду.

_-3 ~ ~ = B

Число неизвестных n = 4 > 2 = r(A) = r(A|B), тогда, по теореме 1 (п.4.6), однородная СЛАУ помимо нулевого решения имеет и ненулевые решения. Найдем их. Полученной ступенчатой матрице В соответствует ступенчатая СЛАУ

Чтобы решить ее, в качестве базисных неизвестных можно взять неизвестные х₁ и х₂, так как коэффициенты при них образуют один из базисных миноров М₂ = =1¹0. Следовательно, остальные неизвестные – свободные. Переобозначим их: х₃ = с₃, х₄ = с₄, и перенесем в правую часть соответствующих уравнений.

Ответ: х₁ = 2с₃-с₄; х₂ = 3с₃+2с₄; х₃ = с₃; х₄ = с₄, где с₃, с₄ - const.