Степенные ряды

Определение:Степенным рядом называется ряд вида , где - коэффициент степенного ряда, зависит от n и не зависит от х.

Степенной ряд является частным случаем функционального ряда, поэтому естественно поставить вопрос об области сходимости степенного ряда и его равномерной сходимости. Ответ на вопрос какой вид имеет область сходимости степенного ряда дает теорема Абеля.

Теорема Абеля:

Если сходится в точке он сходится во всех точках, удовлетворяющих неравенству . Если расходится в точке он расходится во всех точках, удовлетворяющих неравенству .

Доказательство:

Пусть сходится в точке будет сходится ряд по необходимому признаку сходимости числовая последовательность - ограничена, т.е существует число M>0, что сразу для всех n.

Возьмем любое х удовл. и рассмотрим из абсолютных величин.

Оценим общий член этого ряда:

Ряд из членов геометрической прогрессии со знаменателем сходится исходный тоже сходится по I признаку сравнения, т.к его члены меньше членов сходящегося ряда сходится абсолютно.

Пусть расходится в точке .

Возьмем любое х удовл. , нужно доказать, что расходится при любом х, удовлетворяющем .

Предположим противное: - сходится по 1 части доказательства он будет сходится в точке .

Полученное противоречие доказывает теорему.

Конец доказательства.

Из теоремы Абеля что если степенной сходится в он сходится в точке удовлетворяющей неравенству :

_{сходится расходится}

^{расходится} . .

⁰

Если расходится в точке , тогда он расходится

Вывод:существует интервал с центром в точке 0, радиусом R, внутри которого степенной ряд сходится, и вне которого расходится. Такой интервал называется интервалом сходимости степенного ряда, а R – радиусом сходимости степенного ряда. Укажем метод нахождения интервала сходимости.