Задача Коши

Обыкновенное дифференциальное уравнение порядка n имеет вид:

(7.1)

где ⁾- производные первого, второго, ... , n -го порядков от искомой функции y. Его решением является семейство функций

y = y(x,a₁, a₂, ... , a_n),

где a₁, a₂, ... , a_n - произвольные константы.

Например, простейшее дифференциальное уравнение имеет решение y = ae^x (рис.7.1). Каждому какому угодно значению параметра a соответствует своя функция, и все эти функции удовлетворяют исходному уравнению.

Рис.7.1. Семейство кривых - решение дифференциального уравнения y' = y

Рис.7.2. Результат численного решения задачи Коши

Если в дополнение к уравнению (7.1) задать конкретные значения

для некоторого значения x₀ в виде

; ; ;...; ,

(7.1’)

то тем самым определяется конкретный набор a₁, a₂, ... , a_n и, следовательно, единственная конкретная функция y(x,a₁, a₂, ... , a_n) из всего семейства решений.

Условия (7.1') называются начальными условиями, а вся задача, включающая дифференциальное уравнение (7.1) и начальные условия (7.1'), называется "задачей Коши".

Класс дифференциальных уравнений, позволяющих аналитическими методами получить решение, довольно узок. Например, уравнение y' = x² + y² не имеет аналитического решения. В большинстве практических задач функция F или коэффициенты, входящие в нее, могут содержать существенные нелинейности или даже задаваться в виде таблиц экспериментальных данных, и тогда аналитическое решение задачи Коши становится невозможным.

При численном решении задачи Коши необходимо задаваться границами x_нач, x_кон изменения аргумента x и величиной h, являющейся шагом его изменения, который определяет дискретность вычисления значений функции y = y(x).

Решение, полученное численным методом, есть таблица соответствующих значений (x_i,y_i), i = 0,1,2,...,n, где x₀=x_нач, x_n= x_кон; x_i+1 = x_i + h.