Интерполяционный полином Лагранжа.

Лагранж предложил следующую форму интерполяционного полинома:

(5.5)

Старшая степень аргумента x в этом полиноме равна n, так как каждое произведение в (5.5) содержит n сомножителей типа ( x - x _j ).

Рис.5.3. Алгоритм интерполяции с использованием полинома Лагранжа

В узлах x = x i выполняются условия Лаг­ран­жа Pn (x i )=f i. Например, при n=3 полином Лагранжа выглядит следующим образом: P3(x)=f0 + + f1 + + f2 + + f3 . Тогда, например, при x = x2 получаем: P3(x2)=f0 + + f1 + + f2 + + f3 .

Сомножители при f₀, f₁ и f₃ из-за наличия члена x₂ - x₂ обращаются в ноль, а сомно­жи­тель при f₂ равен единице, т.е. P₃(x₂)=f₂, что и требовалось доказать.

Блок-схема интерполяции полиномом Лагранжа приведена на рис.5.3.

В отличие от канонического полинома для вычислений значений полинома Лаг­ранжа не требуется предварительного определения коэффициентов полинома, но для каж­дой новой точки интерполяции полином приходится пересчитывать вновь. Поэтому практическое применение полинома Лагранжа оправдано в том случае, когда интерпо­ля­ция проводится в сравнительно небольшом количестве точек.