Полином в каноническом виде

Известно, что любая непрерывная на отрезке [a,b] функция f(x) может быть хорошо приближена некоторым полиномом P_n(x). Справедлива следующая Теорема (Вейерштрасса): Для любого >0 существует полином P_n(x) степени , такой, что

В качестве аппроксимирующей функции выберем полином степени n в каноническом виде:

Коэффициенты полинома определим из условий Лагранжа , , что с учётом предыдущего выражения даёт систему линейных алгебраических уравнений с n+1 неизвестными:

Обозначим систему таких уравнений символом (*) и перепишем её следующим образом:

или в матричной форме: где - вектор-столбец, содержащий неизвестные коэффициенты , - вектор-столбец, составленный из табличных значений функции , а матрица имеет вид:

Система линейных алгебраических уравнений (*) относительно неизвестных иметь единственное решение, если определитель матрицы отличен от нуля.

Определитель матрицы называют определителем Вандермонда, его можно вычислить по следующей формуле:

Число узлов интерполяционного полинома должно быть на единицу больше его степени. Это понятно из интуитивных соображений: через 2 точки можно провести единственную прямую, через 3 - единственную параболу и т.д. Но полином может получиться и меньшей степени. Т.е. если 3 точки лежат на одной прямой, то через них пройдёт единственный полином первой степени (но это ничему не противоречит: просто коэффициент при старшей степени равен нулю).

При достаточной простоте реализации метода он имеет существенный недостаток: число обусловленности матрицы быстро растёт с увеличением числа узлов интерполяции. Из-за плохой обусловленности матрицы рекомендуется применять другие методы интерполяции (например, интерполяция полиномами Лагранжа). При этом важно понимать, что при теоретическом применении различных методов они приводят к одинаковому результату, т.е. мы получим один и тот же полином.

Однако при практической реализации мы получим полиномы различной точности аппроксимации из-за погрешности вычислений аппаратуры.