Пример исследования корреляции и регрессии

Пример. В соревнованиях по десятиборью участвовали 20 спортсменов. Результаты, показанные ими в метании диска и толкании ядра, приведены в таблице 6.

Таблица 6

Результаты метания диска и толкания ядра

Исследовать, существует ли связь между результатами, показанными спортсменами в метании диска и результатами в толкании ядра. Сравнить вариацию двух обследуемых признаков. Если между двумя наборами данных существует связь, то построить линию регрессии.

Построим корреляционное поле, откладывая в прямоугольной системе координат по оси OX результаты, показанные в метании диска, а по оси OY – результаты, показанные в толкании ядра (см. рис. 16). Проведем огибающую для нанесенных точек.

Рис. 16. Корреляционное поле

Как видно из рассмотрения рисунка, огибающая имеет форму, близкую к эллипсу. Это позволяет предположить, что два набора данных связаны между собой линейной связью. Из рис. 6 видно, что увеличение значения результата, показанного в метании диска, приводит к увеличению значения результата, показанного в толкании ядра. Следовательно, предполагаемая связь является положительной. Поскольку связь линейная, а измерения значений исследуемых признаков производятся в шкале отношений, то для оценки ее силы можно воспользоваться коэффициентом корреляции Браве-Пирсона

.

Для определения коэффициента корреляции Браве-Пирсона воспользуемся вспомогательной таблицей. Построим таблицу, содержащую 8 столбцов и 23 строки (см. таблицу 6). В первом столбце разместим номера результатов (или спортсменов). Во втором и третьем столбцах – результаты, показанные спортсменами в метании диска (x_i) и толкании ядра (y_i).

Таблица 6

Определение коэффициента корреляции

i	xi	yi
	40,9	13,84	0,318	-0,502	-0,159636	0,101124	0,252004
	49,47	16,51	8,888	2,168	19,269184	78,996544	4,700224
	45,44	15,83	4,858	1,488	7,228704	23,600164	2,214144
	45,64	16,47	5,058	2,128	10,763424	25,583364	4,528384
	43,76	13,40	3,178	-0,942	-2,993676	10,099684	0,887364
	36,08	13,45	-4,502	-0,892	4,015784	20,268004	0,795664
	33,92	13,88	-6,662	-0,462	3,077844	44,382244	0,213444
	40,22	15,06	-0,362	0,718	-0,259916	0,131044	0,515524
	39,47	14,68	-1,112	0,338	-0,375856	1,236544	0,114244
	38,38	13,97	-2,202	-0,372	0,819144	4,848804	0,138384
	38,68	13,70	-1,902	-0,642	1,221084	3,617604	0,412164
	47,14	14,68	6,558	0,338	2,216604	43,007364	0,114244
	36,47	12,85	-4,112	-1,492	6,135104	16,908544	2,226064
	39,03	14,84	-1,552	0,498	-0,772896	2,408704	0,248004
	46,3	15,65	5,718	1,308	7,479144	32,695524	1,710864
	33,47	12,27	-7,112	-2,072	14,736064	50,580544	4,293184
	44,97	14,97	4,388	0,628	2,755664	19,254544	0,394384
	38,83	13,99	-1,752	-0,352	0,616704	3,069504	0,123904
	42,68	15,03	2,098	0,688	1,443424	4,401604	0,473344
	30,79	11,77	-9,792	-2,572	25,185024	95,883264	6,615184
Сумма	811,64	286,84			102,40092	481,0747	30,97072

Вычислим суммы значений x_i и y_i и занесем их в соответствующие клетки строки «Сумма» (последняя строка таблицы) столбцов 2 и 3:

;

.

Рассчитаем средние значения признаков x_i и y_i:

;

.

В клетках столбца 4 вычислим разность значений результатов метания диска x_i и их среднего значения : , а в клетках столбца 5 – аналогичную разность для толкания ядра . Суммы элементов этих столбцов должны быть равны нулю, поскольку сумма отклонений значений признака от среднего значения равна нулю.

В столбце 6 подсчитаем произведения отклонений двух исследуемых признаков от их средних значений ( )×( ). В столбце 7 вычислим квадраты отклонений результатов метания диска от среднего их значения – ( )², а в столбце 8 - квадраты отклонений результатов толкания ядра от их среднего значения – ( )². Подсчитаем соответствующие суммы и занесем результаты в последнюю строку таблицы:

;

;

.

Используя полученные значения вспомогательных сумм, вычислим значение коэффициента корреляции Браве-Пирсона:

.

Коэффициент корреляции лежит в интервале , поэтому можно сделать предположение о том, что между результатами, показанными спортсменами в метании диска, и результатами, показанными ими в толкании ядра, существует линейнаяположительная сильная статистическая взаимосвязь.

Коэффициент детерминации в рассматриваемом случае равен

.

Таким образом, 70% взаимосвязи между двумя наборами данных объясняется их взаимовлиянием. Остальная часть вариации обусловлена воздействием других неучтенных причин.

Для обоснования статистической значимости полученного коэффициента корреляции воспользуемся двусторонним критерием. Сформулируем статистические гипотезы. Н₀ – в генеральной совокупности корреляция отсутствует, а отличие от нуля выборочного коэффициента корреляции связано со случайностью выборки. Н₁ – в генеральной совокупности существует взаимосвязь между двумя исследуемыми признаками. Зададимся уровнем статистической значимости α=0,05. Соответствующее ему критическое значение коэффициента корреляции для объема выборки n=20 равно r_кр=0,468 (см. таблицу 2 Приложения). Так как значение выборочного коэффициента корреляции превосходит значение критического для заданного уровня значимости, то делаем вывод о статистической значимости коэффициента корреляции на уровне значимости 0,05. Между результатами, показанными спортсменами в метании диска, и результатами, показанными ими в толкании ядра, существует значимая положительная взаимосвязь.

Обоснуем статистическую значимость коэффициента корреляции иным способом. Он используется тогда, когда таблицы критических значений коэффициента корреляции оказались по каким-либо причинам недоступными. В том случае для проверки статистической значимости применяется t-критерий Стьюдента, таблицы критических значений которого гораздо доступнее. Сами формулировки статистических гипотез Н₀ и Н₁ остаются без изменений. Вычислим эмпирическое значение t-критерия :

.

Сопоставим полученное значение с критическим значением критерия для числа степеней свободы и уровня значимости α=0,05. Критическое значение определяется с помощью специальных таблиц (см. таблицу 1 Приложения). В рассматриваемом случае оно равно =2,101. Поскольку эмпирическое значение критерия оказалось больше критического, то можно сделать вывод о том, что на уровне значимости 0,05 коэффициент корреляции является статистически значимым.

Для сравнения вариативности исследуемых признаков вычислим коэффициенты вариации. Предварительно, использую значения сумм столбцов 7 и 8 таблицы 3, необходимо вычислить дисперсии и стандартные отклонения:

Подсчитаем коэффициенты вариации двух признаков:

;

.

Поскольку коэффициент вариации у результатов в метании диска больше, чем у результатов в толкании ядра, то этот признак варьирует сильнее. Следует отметить, что в рассматриваемом случае различия в варьировании признаков не велики.

Определим значения коэффициентов регрессии. Для этого воспользуемся вспомогательной таблицей 7.

Таблица 7

Определение коэффициентов регрессии

Первые три столбца совпадают с соответствующими столбцами таблицы 6. В столбце 4 таблицы 7 вычислим квадраты значений результатов метания диска , в столбце 5 произведения двух исследуемых признаков . В последней строке таблицы подсчитаем соответствующие суммы:

;

.

Вычислим коэффициент регрессии:

;

.

Рассчитаем значение свободного члена уравнения регрессии

.

Таким образом, уравнение регрессии имеет вид:

.

Определим стандартную ошибку предсказания. Для этого в столбце 6 таблицы 3 вычислим квадраты значений результатов толкания ядра и занесем их сумму в последнюю строку:

.

Используя полученные результаты, вычислим стандартную ошибку предсказания:

.

Стандартная ошибка предсказания является характеристикой точности предсказания значений случайной величины y по известным значениям случайной величины x. Зона, ограниченная двумя прямыми, отстоящими от регрессионной прямой на расстояние ±0.7, является областью, в которую с вероятностью 0,7 попадают экспериментальные значения y_i. Это означает, что приблизительно 70% всех значений y_i находятся в этой области.

Проверим статистическую значимость полученного коэффициента регрессии. Сформулируем статистические гипотезы. Н₀ – для рассматриваемой генеральной совокупности нет статистически значимого коэффициента регрессии. Н₁ – полученный коэффициента регрессии является статистически значимым. Нулевая гипотеза проверяется с помощью t-критерия Стьюдента, эмпирическое значение которого вычисляется с помощью соотношения

Зададимся уровнем статистической значимости α=0,05. Соответствующее ему критическое значение для объема выборки n=20 и числа степеней ν=n-2=20-2=18 равно t_кр=2,101 (см. таблицу 1 Приложения). Сравним эмпирическое значение t-критерия с критическим для выбранного уровня значимости. t_эмп > t_кр (t_эмп >2,101), поэтому коэффициент регрессии b=0,213 является статистически значимым на уровне статистической значимости α=0,05.

Рассмотрим исследование взаимосвязи признаков с помощью коэффициента ранговой корреляции Спирмена.

Пример. В ходе тренировок группа спортсменов из 20 человек выполняют упражнения «подъем-разгибом» и «отмах в стойку». Результаты, зафиксированные при выполнении этих упражнений, приведены в таблице 8. Число выполнений упражнения «подъем-разгибом» каждым спортсменом приведено во второй колонке таблицы 8 обозначено x. Число выполнений упражнения «отмах в стойку» приведено в третьей колонке таблицы 8 и обозначено y. Исследовать зависимость между результатами выполнения упражнения «отмах в стойку» и результатами выполнения упражнения «подъем-разгибом».

Таблица 8

Вычисление коэффициента ранговой корреляции Спирмена.

Построим корреляционное поле, откладывая по оси X декартовой системы координат результаты выполнения упражнения «подъем-разгибом», а по оси Y – соответствующие им результаты выполнения упражнения «отмах в стойку» (см. рис. 17).

Рис. 17. Корреляционное поле

Как видно из рассмотрения рисунка, увеличение значения одного признака, приводит к увеличению значения второго. Это позволяет предположить, что два набора данных связаны положительной связью. Поскольку предполагаемая связь является монотонной, то для оценки ее силы можно воспользоваться коэффициентом ранговой корреляции Спирмена.

Вычислим ранги R_Xi и R_Yi значений исследуемых данных и занесем полученные результаты в 4 и 5 колонки таблицы 5.

Вычислим разности рангов R_Xi и R_Yi. Полученные данные обозначим d_i и занесем в шестую колонку. Сумма разностей равна нулю, что может быть использовано для проверки корректности вычислений.

Определим квадраты разностей рангов и суммируем их ( ). Результат записываем в нижней строке таблицы.

Поскольку как среди результатов выполнения упражнения «подъем-разгибом», так и среди результатов выполнения упражнения «отмах в стойку» есть совпадающие значения, то вычислим поправочные коэффициенты. Среди результатов выполнения упражнения «подъем-разгибом» есть 7 групп совпадающих значений – по два раза встречается значения 10, 11, 16, 20 и по три раза встречается значения 13, 15, 18. Поэтому . Среди результатов выполнения упражнения «подъем-разгибом» по два раза встречаются значения 5, 6, 8, 9 и по четыре раза встречаются значения 3, 7, поэтому .

Подставим полученные значения в формулу для вычисления коэффициента корреляции Спирмена:

.

Определим статистическую достоверность полученного коэффициента корреляции. Для n=20 и уровня значимости α=0,05 критическое значение r_sкр=0,45 (см. таблицу 3 Приложения).

Поскольку полученное значение r_s превосходит критическое r_sкр, то можно сделать вывод о статистически значимой положительной корреляции между результатами выполнения упражнения «отмах в стойку» и результатами выполнения упражнения «подъем-разгибом» (p<0,05).

Список литературы