Общая теория относительности

Общая теория относительности (ОТО) сформулирована Альбертом Эйнштейном в 1911 г. и представляет собой современную релятивистскую теорию гравитации. Именно ОТО лежит в основе современной космологии.

«Ахиллесова пята» закона всемирного тяготения.Классическая теория гравитации связана с законом всемирного тяготения Ньютона. Действующая между двумя материальными объектами сила притяжения прямо пропорциональна величине их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

.

Коэффициент G = 6,67·10^–11 – гравитационная постоянная, универсальная физическая константа. Этот закон успешно может быть использован для предсказания движения планет и комет вокруг Солнца, Луны вокруг Земли и ракет, запускаемых для исследования космоса, а также для решения более приземленных задач – расчета траектории полета снаряда, мячика или прыгуна с трамплина. Однако он содержит серьезное противоречие с постулатами специальной теории относительности: в теории Ньютона не рассматривается механизм передачи взаимодействия и подразумевается, что сила тяготения действует мгновенно. Согласно же специальной теории относительности ни один сигнал не может распространяться со скоростью, превышающей скорость света.

Принцип эквивалентности.Решая вопрос о механизме тяготения масс, или гравитации, Эйнштейн постулирует принцип эквивалентности инертной и гравитационной масс: ускоренное движение физически полностью эквивалентно покою в гравитационном поле (т. е. они неразличимы никакими измерениями). Например, в самолете, набирающем высоту с ускорением, пассажир испытывает ощущение, что внезапно увеличилась сила тяжести. В ракете, стартующей с Земли с ускорением a = 2g, на пассажиров и все предметы действует сила тяжести, втрое превышающая обычное значение. Эта сила «псевдогравитации» в точности пропорциональна инертной массе. Ни один физический эксперимент на ракете не может ответить на вопрос: возросла ли втрое сила тяжести за счет увеличения земного притяжения или же ракета стала ускоренно двигаться относительно Земли. В общей теории относительности Эйнштейна принцип эквивалентности формулируется с помощью сложного математического аппарата. В этой теории любая масса «возмущает» пространство вокруг себя, в результате чего все тела будут двигаться по траекториям, искривленным в окрестности возмущающей массы, таким образом, что они приближаются к ней.

В классической механике мы рассуждали бы следующим образом: любое тело, движущееся с постоянной скоростью по криволинейной траектории, движется с ускорением, направленным к центру кривизны (центростремительное ускорение), и, следовательно, испытывает действие некоторой силы. В общей теории относительности центростремительное ускорение Земли при движении вокруг Солнца обусловлено не тем, что Солнце ее притягивает, а тем, что его присутствие искривляет пространство-время настолько, что траектория свободного (по инерции) движения Земли из прямой превратилась в замкнутый эллипс. Поскольку «возмущено» само пространство, все инертные массы будут подвержены одному и тому же воздействию и принцип эквивалентности удовлетворяется автоматически.

Геометрия Лобачевского и Римана. Искривленное пространство-время не является евклидовым. Его математическим портретом служит другая геометрия.

В 1826 г. казанский математик Николай Иванович Лобачевский (1792–1856) пересмотрел пятый постулат евклидовой геометрии, или аксиому о параллельных: «В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести более одной прямой, не пересекающей данной». В геометрии Лобачевского многие теоремы отличны от аналогичных теорем евклидовой геометрии: например, сумма углов треугольника меньше двух прямых углов (рис. 7.5). Несмотря на внешнюю парадоксальность этих выводов, геометрия Лобачевского оказалась логически совершенно равноправной с евклидовой. Открытие новой геометрии внесло коренные изменения в представления о природе пространства.

а б

Рис. 7.5. Треугольник в евклидовом пространстве
(а) и в пространстве Лобачевского (б)

Большую роль в развитии новых взглядов на пространство сыграл немецкий математик Бернгард Риман (1826–1866), который рассматривал геометрию как учение о непрерывных совокупностях любых однородных объектов (многообразиях). В 1854 г. он изложил свои идеи в речи «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии». Риман рассматривает пространство n измерений (многомерное) и определяет длину элемента линии в этом пространстве выражением

ds² = g₁₁dx₁² + g₂₂dx₂² + _… + 2g₁₂dx₁dx₂ + 2g₁₃dx₁dx₃ + … = å g_ikdx_idx_ik .

В случае, если все g_ik = 0 для i ¹ k, пространство будет плоским, или n-мерным евклидовым пространством. В других случаях пространство будет искривленным, и кривизна его определяется коэффициентами g_ik . Если кривизна положительна, то пространство называют римановым сферическим (выпуклым), если отрицательна, то пространство будет псевдосферическим (вогнутым) (рис. 7.6).

Рис. 7.6. Искривление пространства
массивным телом

Земля остается на орбите вокруг Солнца потому, что катится по ложбине в искривленной структуре пространства. Говоря более точно, она следует линии наименьшего сопротивления в деформированной окрестности Солнца.

Уравнения Эйнштейна. Искривление пространства-времени как целого описывается знаменитыми уравнениями Эйнштейна, связывающими величину кривизны траектории с интенсивностью (или массой) источника гравитации:

R_ik – Rg_ik = cT_ik .

Геометрия пространства-времени = Распределение
и движение материи.

В левой части стоят чисто геометрические величины, описывающие, как именно искривляется пространство-время. Величина Т_ik в правой части описывает распределение и движение материальных тел. Чем массивнее тело, тем больше Т_ik и тем сильнее искривлено пространство-время в окрестности тела. Коэффициент пропорциональности c содержит скорость света с и гравитационную постоянную G из закона всемирного тяготения.

Таким образом, согласно общей теории относительности одно лишь присутствие материальных объектов изменяет свойства пространства-времени. И наоборот, геометрия пространства-времени влияет на характер движения тел.

Следствия общей теории относительности. Если эффекты специальной теории относительности становятся наиболее очевидными при больших скоростях движения тел, то общая теория относительности выходит на сцену, когда тело имеет очень большую массу и вызывает сильное искривление пространства-времени. Рассмотрим некоторые следствия общей теории относительности, получившие эмпирическое подтверждение и, таким образом, доказывающие ее состоятельность.

Замедление хода времени в гравитационном поле. Этот эффект связан с увеличением длины волны при излучении света массивными телами (гравитационное красное смещение). Он наблюдается в спектральных линиях Солнца и массивных звезд. Таким образом, часы на поверхности Солнца должны идти медленнее, чем такие же часы на поверхности Земли. Гравитационное поле самой Земли ослабляется по мере удаления от ее центра, и если мы расположим пару одинаковых часов на поверхности Земли на расстоянии 1 м по вертикали, то нижние часы будут идти медленнее, причем это различие составит 10^–16. Впервые стандарты частоты такой точности были созданы в 60-х годах двадцатого века. В них использовались фотоны, излучаемые радиоактивными ядрами железа, внедренными в кристалл. Столь высокую точность измерения частоты обеспечивает эффект Мессбауэра. Благодаря появлению таких стандартов частоты удалось в лабораторных экспериментах продемонстрировать замедление времени, обусловленное гравитацией. Первые эксперименты были выполнены в 1960 г. в Гарвардском университете на 20-метровой башне.

Искривление световых лучей, проходящих вблизи поверхности Солнца.Теория позволяет вычислить гравитационную силу, которая действует между Солнцем и фотоном, движущимся со скоростью света, и смещает фотон в сторону центра Солнца (рис. 7.7). Искривление лучей обусловлено действием массы Солнца и вызывает смещение кажущегося положения звезды в точку S.

Рис. 7.7. Отклонение световых лучей от звезды S при прохождении около
Солнца от прямолинейной траектории

В ноябре 1915 г. Эйнштейн вычислил, что угловое смещение должно составлять 0,00049 град. (1,75 угловых секунд). Этот крошечный угол равен углу раствора диафрагмы, сфокусированной на двадцатицентовой монетке в трех километрах от нее. Измерение столь малого угла было уже под силу технике тех дней. Лишь во время солнечных затмений можно видеть звезды, чье кажущееся расположение на небосклоне близко к краю Солнца. 29 мая 1919 г. должно было произойти солнечное затмение.

Артур Эддингтон, известный астроном и секретарь Королевского астрономического общества Англии, организовал экспедицию на остров Принсипе, расположенный у западного побережья Англии. После пяти месяцев анализа фотографий, сделанных во время затмения, подтвердилось, что наблюдаемые положения близких к краю Солнца звезд действительно сдвинуты на величину, предсказываемую теорией Эйнштейна.

Образование черных дыр. В 1916 г., во время Первой мировой войны, немецкий астроном Карл Шварцшильд находился на русском фронте. В перерывах между расчетами траекторий артиллерийских снарядов он знакомился с достижениями Эйнштейна в области гравитации. Шварцшильд, решая уравнения Эйнштейна, получил полную и точную картину того, как искривляется пространство-время в окрестности идеально сферической звезды.

Он показал, что если отношение массы звезды к ее радиусу не превосходит некоторого критического значения, то искривление пространства-времени будет настолько сильным, что никакой объект (включая свет), приблизившийся к звезде на расстояние, которое называется горизонтом событий, не может ускользнуть из этой гравитационной ловушки. Он будет падать к центру ловушки, подвергаясь действию разрушительных гравитационных деформаций. Черными дырами эти объекты позднее назвал Джон Уиллер (рис. 7.8). Черная дыра искривляет структуру окружающего пространства-времени настолько сильно, что любой объект, пересекающий ее горизонт событий, обозначенный черной окружностью на рис. 7.8, не может ускользнуть из ее гравитационной ловушки. Никто не знает в точности, что происходит в глубинах черных дыр.

Рис. 7.8. Черная дыра

Звезда массой, равной массе Солнца, станет черной дырой, если ее радиус будет составлять всего 3 км. Вообразим, что наше Солнце радиусом 700 000 км сжалось до таких размеров. При этом чайная ложка солнечного вещества будет весить столько же, сколько гора Эверест.

В последние годы накопилось много экспериментальных данных, подтверждающих существование черных дыр. Поскольку черные дыры не излучают и не отражают свет, их нельзя наблюдать непосредственно. Черные дыры обнаруживают по аномальному поведению обычных излучающих свет звезд, расположенных поблизости от горизонта событий черных дыр. Например, когда частицы пыли и газа из внешних слоев таких звезд устремляются к горизонту событий черной дыры, они разгоняются почти до световых скоростей. При этом за счет трения выделяется огромное количество теплоты, заставляя газопылевую смесь светиться, излучая видимый свет и рентгеновские лучи. Это излучение может непосредственно наблюдаться и изучаться. Характеристики излучения совпадают с теми, которые предсказывает общая теория относительности.

Обнаруживается все больше свидетельств в пользу того, что в центре нашей галактики находится черная дыра, масса которой в 2,5 миллиона раз превосходит массу нашего Солнца. Предполагается, что в центре ярких космических объектов, называемых квазарами, находятся черные дыры, массы которых в миллиарды раз превосходят массу Солнца.