Идея метода зеркальных изображений

Рассмотрим следующую ситуацию. Имеется источник поля, расположенный над бесконечной идеально проводящей поверхностью S (рис. 5.1), которая делит пространство на два полупространства – 1 и 2. В полупространстве 2 поле отсутствует, так как оно экранировано от источника. Требуется найти поле в полупространстве 1, которое, очевидно, не совпадает с полем источника в отсутствие экрана. С формально-матема­тической точки зрения влияние экрана сказывается в том, что на его поверхности должно выполняться граничное условие

, . (5.1)

Метод зеркальных изображений позволяет рассчитать поле в полупространстве 1 путем замены экрана зеркальным изображением источника в нем. Искомое поле представляется тогда суммой полей истинного источника и его зеркального изображения. На месте удаленного экрана должно при этом обеспечиваться выполнение условия (5.1). Рассмотрим применение метода на примере вертикального и горизонтального диполя Герца с моментом ( -ток, l-длина диполя) (рис. 5.2). На основе метода зеркальных изображений откажемся от проводящей границы раздела и запишем выражение для напряженности электрического поля, создаваемого в дальней зоне диполя Герца с моментом pэв следующем виде: . На фиктивной границе двух сред орт можно представить как сумму нормальной и касательной к поверхности, составляющей со своими амплитудными коэффициентами . Из приведенного выражения видно, что одиночной диполь имеет отличную от нуля касательную к поверхности составляющую электрического поля, что не удовлетворяет ГУ (5.1). В связи с этим необходимо осуществить выбор расположения и фазы дипольного момента изображения, при которых обеспечивается выполнение ГУ. Поле мнимого изображения должно скомпенсировать касательную составляющую электрического поля оригинала, следовательно, моменты оригинала и изображения должны быть синфазными. В этом случае поле, создаваемое изображением, запишется как . В результате суммарное поле будет удовлетворять ГУ (5.1) и таким образом, поле в дальней зоне системы из двух источников окажется эквивалентным полю диполя над проводящей поверхностью.

Рис. 5.2

Повторяя изложенные рассуждения для горизонтально расположенного диполя можно сделать вывод, что в этом случае моменты должны быть противофазными.

Применение метода зеркальных изображений к антеннам,
размещенным над проводящей плоскостью

Как известно, любую антенну можно представить совокупностью элементарных электрических и магнитных диполей Герца. Поэтому очевидна законность переноса метода зеркальных изображений и на этот случай. Суть метода полностью сохраняется: чтобы найти поле антенны в полупространстве 1, нужно отбросить экран, а его действие заменить действием зеркального изображения антенны. Необходимо лишь выяснить связь между характе­ристиками направленности реальной антенны и ее зеркального отображения. Для удобства анализа рассмотрим отдельно случай антенны с вертикально- и горизонтально-поляризованным полями излучения.

. (5.2)

Аналогичным образом записывается поле зеркального изображения в точке А:

, (5.3)

где – характеристика направленности антенны 2. Угол по-преж­нему отсчитывается от вертикали, так что в данном случае он равен (см. рис. 5.3).

Чтобы поле , полученное суммированием (5.2) и (5.3), имело нулевую касательную составляющую относительно S, значения и должны совпадать. Только в этом случае касательные составляющие обоих полей взаимно компенсируются. Заметим, что углы и в данном рассмотрении жестко связаны: . Поэтому Это равенство означает, что характеристика направленности антенны 2 должна быть зеркальным отражением харак­теристики направленности антенны 1 (см. рис. 5.3), а антенны должны быть возбуждены синфазно.

Особо выделим случай, когда ДН антенны 1 симметрична относительно направления (рис. 5.4). В таком случае ее зеркальное изображение будет совпадать с оригиналом. Следовательно,

. (5.4)

Горизонтальная поляризация. В данном случае выражение для поля антенны 1 в точке А будет отличаться от выражения (5.3). Во-первых, вектор , который должен быть перпендикулярен О1А (см. рис. 5.3) и одновременно горизонтально поляризован, будет направлен по орту , перпендикулярному плоскости рисунка. Во-вторых, характеристика направленности имеет индекс «г», а не «в». Таким образом,

. (5.5)

Поле антенны 2 также поляризовано по орту :

. (5.6)

Сумма векторов (5.5) и (5.6) должна обратиться в нуль, поскольку орт касателен к S. Следовательно, значения и должны быть равны и противоположны по знаку:

= - , . (5.7)

Таким образом, характеристики направленности антенн являются зеркальными изображениями друг друга, но, согласно (5.7) в отличие от вертикальной поляризации (см. (5.4)), антенны должны быть возбуждены в противофазе.

В особом случае, когда характеристики направленности симметричны относительно , получим следующее соотношение между ними:

. (5.8)

Обобщение на антенны с произвольно
поляризованным излучением

В общем случае поле излучения антенны имеет вертикальную и горизонтальную составляющие, причем каждая из них обладает своей характеристикой направленности. Полное поле каждой из антенн представляется как сумма вертикальной и горизонтальной составляющих. Запишем поле антенны 1 в произвольной точке М 1-го полупространства (рис. 5.5). Для этого сложим выражения (5.2) и (5.5), подставляя в них координаты точки М:

. (5.9)

В той же точке М поле зеркального изображения равно

. (5.10)

Если точка наблюдения находится в дальней зоне системы «антенна 1 - антенна 2», то выполняются неравенства >> , >> , >> . В этом случае выражения (5.9) и (5.10) можно упростить. При выполнении указанных неравенств лучи О1М и О2М практически параллельны; поэтому . Кроме того, в знаменателях (5.9) и (5.10) можно положить . Тогда

, (5.11)

. (5.12)

Наконец, примем, что характеристики направленности и по горизонтальной, и по вертикальной составляющим симметричны относительно . Тогда действуют связи (5.4) и (5.8). Учитывая их, преобразуем (5.12):

. (5.13)

Следует отметить, что поля антенн 1 и 2 из-за разницы знака при в (5.11) и (5.13) поляризованы неодинаково. Допустим, например, что и равны по модулю и сдвинуты по фазе на 90º, так что квадратную скобку в (5.11) можно записать в виде . Это означает, что поле антенны 1 имеет левую круговую поляризацию (если смотреть по направлению распространения волны). В то же время для поля антенны 2 та же скобка записывается как , т. е. это поле с правой круговой поляризацией.