Классификация связей

Основная идея, положенная в основу подхода к решению задач в аналитической механике, состоит в том, чтобы разделить задачу определения закона движения механической системы и задачу определения неизвестных реакций связей. Для этого необходимо получить дифференциальные уравнения движения механической системы в виде, не содержащем реакций связей. Напомним основные положения, касающиеся связей, наложенных на механическую систему, и рассмотрим их классификацию.

Механическая система называется свободной, если ее точки могут занимать любые положения в пространстве, а их скорости могут принимать любые значения. В противном случае система называется несвободной. Очевидно, для несвободной системы должны быть заданы ограничения, налагаемые на координаты и скорости точек системы. Эти ограничения называют связями. Они могут быть записаны в виде уравнений или неравенств, связывающих время, координаты и скорости точек системы. Конструктивно связи реализуются в виде шарниров, поверхностей, стержней, нитей и т.п.

Если механическая система может покинуть связь, то такая связь называется неудерживающей; в противном случае – удерживающей. На Рис.7.1 изображен шарик, привязанный к концу нерастяжимой нити, Такой шарик при натянутой нити движется по сфере радиуса , но может уйти и внутрь этой сферы. При этом нить не натянута (как– бы отсутствует). Это пример неудерживающей связи в отличие от случая, изображенного на Рис.7.2, где такой же шарик находится на конце нерастяжимого стержня. Удерживающие связи записываются в виде уравнений, а неудерживающие – в виде неравенств, связывающих координаты точек системы.

Рис. 14.1		Рис. 14.2		Рис. 14.3

Рассмотренные в этих двух примерах связи являются стационарными, в отличие от случая, изображенного на Рис.7.3, где в качестве опоры используется телескопический стержень, длина которого может изменяться со временем. Итак, если вид связи не изменяется со временем, связь называется стационарной; в противном случае – нестационарной. В уравнения (неравенства) стационарных связей время не входит явным образом.

Связи могут налагать ограничения не только на координаты точек, но и на их скорости. Например, при качении без скольжения колеса по неподвижной поверхности (Рис.7.4) ограничения, налагаемые связью (поверхность) могут быть выражены уравнениями: Хотя второе из этих уравнений носит относительно координат дифференциальный характер, оно может быть проинтегрировано

и заменено алгебраическим соотношением

Рис. 7.4		Рис. 7.5

Рассмотрим другой пример. Конек скользит по ледяной поверхности, принятой за координатную плоскость (Рис.7.5). Конек имеет выпуклое лезвие, которое касается льда только в одной точке . Положение конька задается двумя координатами точки и углом . Конек затачивается таким образом, чтобы отсутствовало поперечное скольжение в направлении, перпендикулярном . Иначе говоря, скорость точки касания должна быть направлена вдоль конька, т.е.

Это уравнение связи (в отличие от предыдущего примера) нельзя проинтегрировать, не зная законов движения конька