НАВЧАЛЬНА ПРОГРАМА
№ строки | Коэффициент к | Внешние моменты | Внешние силы | Интенсивность равномерно-распределенной нагрузки | |||||||
M1 | M2 | M3 | P1 | P2 | P3 | q1 | q2 | q3 | |||
0,5 | m | 2т | -т | 2Р | Р | -3Р | -q | 2q | 3q | ||
-2т | т | т | Р | -2Р | Р | 2q | -q | 3q | |||
m | 3т | 2т | 2Р | Р | -3Р | q | 2q | -q | |||
0,5 | m | 2т | -2m | -3Р | Р | 2Р | 2q | -q | 3q | ||
1,5 | 2т | 3m | m | Р | 2Р | -2Р | 2q | 2q | -q | ||
0,5 | т | -т | 2т | 2Р | -3Р | Р | -q | 3q | q | ||
1,5 | m | 2т | -3m | 3P | 2Р | Р | q | 2q | 2q | ||
2т | -m | 3m | 2Р | Р | -2Р | 2q | -q | q | |||
-2т | 2т | т | Р | Р | 3Р | q | 3q | 2q | |||
1,5 | т | -2т | 2т | 2Р | -2Р | Р | 3q | q | -2q | ||
Примечание: Если значение нагрузки указано со знаком «минус», то её направление на расчетной схеме следует изменить на противоположное, после этого нагрузка считается положительной.
Рис. 0
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 6
Рис. 7
Рис. 8
Рис. 9
3.2. Методические указания к построению эпюр внутренних силовых факторов
Нагрузки приложенные к телу деформируют его, т.е. меняют его размеры и (или) форму. Под действием этих нагрузок внутри тела возникают внутренние силы противодействия деформации, стремящиеся сохранить размеры и форму тела. Величина этих сил и определяет прочность тела.
Внутренние силовые факторы это проекции главного вектора и главного момента внутренних сил на оси естественной системы координат. Естественной называется система координат естественным образом связанная с поперечным сечением бруса. Начало этой системы координат расположено в центре тяжести сечения, ось z направлена перпендикулярно сечению по оси бруса, оси х и у расположены в плоскости сечения и направлены по главным центральным осям инерции сечения (для симметричных сечений по осям симметрии).
Эпюры – это графическое изображение законов изменения внутренних силовых факторов по длине бруса.
Построение эпюр внутренних силовых факторов является первым этапом любого расчета на прочность и жесткость. Поэтому освоение алгоритма и приобретение устойчивых навыков построения эпюр является залогом успешного изучения всего курса "Сопротивление материалов".
Алгоритм построения эпюр включает в себя следующие шаги:
1. Изображение расчетной схемы в соответствии с индивидуальным заданием.
2. Определение опорных реакций.
3. Деление расчетной схемы на силовые участки.
4. Составление аналитических выражений для определения внутренних силовых факторов в произвольных сечениях участков. Вычислениезначений внутренних силовых факторов на границах участков и в экстремальных точках.
5. Построение эпюр.
6. Проверка правильности построенных эпюр.
Рассмотрим содержание этих шагов более подробно.*)
*) Примеры практического использования алгоритма даны в разделе 3.3.
Изображение расчетной схемы
Расчетной схемой называется формализованное изображение расчитываемого объекта, освобожденного от несущественных для данного расчета особенностей. Элементами расчетных схем являются стержни и их размеры, нагрузки и их значения, опоры.
Различают линейные, плоские и пространственные расчетные схемы.
Линейная – расчетная схема, у которой все стержни и все нагрузки расположены на одной линии.
Плоская – расчетная схема, у которой все стержни и все нагрузки расположены в одной плоскости.
Пространственная – расчетная схема, у которой стержни и нагрузки произвольным образом направлены в пространстве.
Расчетная схема изображается в произвольном масштабе с соблюдением соотношений между длинами участков. На расчетной схеме вместо коэффициента k , внешних нагрузок М1 , М2 , М3 , Р1 , Р2 , Р3 , q1 , q2 , q3 указывается их значение, взятое из таблицы в соответствии с индивидуальным заданием.
Все нагрузки на расчетной схеме должны иметь истинное направление. Указание значений нагрузок со знаком «минус» не допускается.
Определение опорных реакций
Опоры расчетной схемы обозначают буквами А, В, С и т.д. В опорах указывают реакции (силы или моменты), направление и вид которых должны соответствовать направлению и виду связей, наложенных на расчетную схему в этих опорах. Реакции обозначают: силы направленные вдоль оси бруса буквой Z , перпендикулярно оси бруса буквой Y , моменты буквой M с индексами, соответствующими обозначению опоры, в которой возникают эти реакции. Например:
YA , ZA , MA и т.д.
Для определения реакций составляют уравнения равновесия, которые для плоской системы имеют вид:
; ; .
С целью снижения вероятности появления ошибок рекомендуется использовать для определения реакций независимые уравнения равновесия, т.е. такие уравнения, в которые входит только одна определяемая реакция. Например, в двухопорных балках для определения реакции, направленной вдоль оси балки, необходимо использовать уравнение , для определения реакций перпендикулярных оси балки уравнения относительно опорных точек. В плоских рамах кроме этих уравнений могут быть использованы уравнения относительно точек, лежащих на пересечении линий действия двух реакций.
В расчетных схемах имеющих внутренние шарниры можно использовать уравнения относительно шарнира всех нагрузок, расположенных по одну сторону от него.
Значение определенных реакций указывается на расчетной схеме. Если значение реакции при её определений получено со знаком минус, то это означает что в действительности эта реакция имеет направление, противоположное указанному на расчетной схеме. Направление этой реакции на расчетной схеме изменяют на противоположное и указывают её значение без знака минус.
После определения всех реакций в обязательном порядке производится проверка правильности их определения. Для этого составляют такое уравнение равновесия, в которое входили бы все (или все ненулевые) найденные реакции. Для двухопорных балок это, как правило, , а для плоских рам – относительно произвольной точки, не лежащей на линиях действия найденных реакций.
Примечание. В расчетных схемах, имеющих только одну опору (жесткую заделку) реакции в ней можно не определять. При записи аналитических выражений для определения внутренних силовых факторов, в этом случае, учитывают все нагрузки расположенные на расчетной схеме с одной стороны от сечения противоположной опоре.
Деление расчетной схемы на силовые участки
Силовым участком называется часть расчетной схемы, на которой закон изменения внутренних силовых факторов остается неизменным. Границами силовых участков являются сечения, где приложены сосредоточенные силы или моменты, начинается или кончается распределенная нагрузка, а также узлы рам. По этим признакам делят расчетную схему на силовые участки (в дальнейшем участки). Участки нумеруют.
Составление аналитических выражений
Эпюры - это графическое изображение законов изменения внутренних силовых факторов на силовых участках. Сначала составляются аналитические выражения этих законов. Для этого используется метод сечений. Суть его в следующем:
- на силовом участке проводится произвольное сечение, условно рассекающее расчетную схему на две части;
- одначасть условно отбрасывается;
- действие на оставленную часть отброшенной заменяется искомыми внутренними силовыми факторами, приложенными в сечении;
- для оставленной части составляются уравнения равновесия, в которые входят нагрузки, действующие на эту часть и внутренние силовые факторы, приложенные в сечении. Это и будут аналитические выражения законов изменения внутренних силовых факторов на участке. По этим выражениям строят эпюры (графики изменения внутренних силовых факторов).
Однако использование метода сечений в такой постановке является неоправданно громоздким и трудоёмким. Более целесообразно поступить следующим образом. На силовом участке проводят произвольное сечение, расстояние от него до одной из границ участка обозначают буквой z с индексом равным номеру участка. Для записи аналитических выражений используют следующие правила, вытекающие из метода сечений.
Н о р м а л ь н а я с и л а в сечении равна алгебраической сумме проекций на ось z (ось бруса) всех нагрузок, расположенных на расчетной схеме по одну сторону от сечения.
Правило знаков: нагрузка, дающая проекцию, направленную от сечения (растягивающею рассматриваемый участок), вводится в выражение со знаком плюс, направленную к сечению (сжимающую) - со знаком минус.
Распределенная нагрузка здесь и далее входит в аналитические выражения через свою равнодействующую.
Для удобства определения знака слагаемых при записи аналитических выражений для нормальных сил, а в дальнейшем и для поперечных сил, допускается все нагрузки, расположенные по одну сторону от сечения, условно переносить в начало рассматриваемого участка.
К р у т я щ и й м о м е н т в сечении равен алгебраической сумме моментов относительно оси бруса (оси z) всех нагрузок, расположенных на расчетной схеме по одну сторону от сечения.
Правило знаков. Момент, направленный против хода часовой стрелки, при наблюдении с вершины оси z (в направлении с границы участка на сечение) записывается со знаком плюс, направленный по часовой стрелке – со знаком минус.
П о п е р е ч н а я с и л а в сечении равна алгебраической сумме проекций на ось, перпендикулярную оси бруса (для плоских расчетных схем на ось у, для пространственных на оси х и у) всех нагрузок, расположенных на расчетной схеме по одну сторону от сечения.
Правило знаков. Нагрузка, дающая проекцию, которая стремится повернуть отсеченную часть бруса относительно сечения по часовой стрелке записывается со знаком плюс, против часовой стрелки – сознаком минус. Наблюдение ведут в направлении перпендикулярном плоскости, в которой действует искомая поперечная сила, для Qy с вершины оси x, для Qx с вершины оси y.
И з г и б а ю щ и й м о м е н т в сечении равен алгебраической сумме моментов относительно оси х (для Мх) или оси y, (для Мy ), помещенных в сечении, всех нагрузок, расположенных на расчетной схеме по одну сторону от сечения.
Для плоских расчетных схем определяется только Мх , а ось х всегда перпендикулярна плоскости, в которой расположена расчетная схема и направлена на наблюдателя. На чертеже она превращается в точку на оси бруса, через которую проведено сечение.
Правило знаков
Изгибающий момент вызывает в поперечном сечении бруса по разные стороны от оси, относительно которой он действует, напряжения и деформации противоположных знаков. С выпуклой стороны бруса напряжения и деформации растягивающие, с вогнутой – сжимающие. В подавляющем большинстве отраслей машиностроения принято изображать эпюры изгибающих моментов с сжатой стороны бруса (со стороны "сжатого волокна"). Таким образом, по виду эпюры автоматически определяется характер деформации бруса. В различных учебниках это достигается разными приёмами.
Обобщая эти приемы, предлагаем следующее универсальное правило. При записи аналитических выражений для Мх моменты нагрузок, изгибающие отсечённую часть участка в сторону положительного направления оси у, считаются положительными, в противоположную сторону – отрицательными. Для балок направление оси у можно указывать только один раз. Для плоских рам направление оси у указывается для каждого участка. Для Мy моменты нагрузок, изгибающие отсечённую часть участка в сторону положительного направления оси х, считаются положительными, в противоположную сторону – отрицательными. В дальнейшем, при построении эпюр положительные ординаты откладываются в сторону положительного направления указанных осей, отрицательные в противоположную сторону (см. примеры построения эпюр). Этим достигается автоматическое построение эпюр изгибающих моментов со стороны "сжатого волокна".
Примечание. Если в расчетной схеме есть опора, реакции в которой не определялись, то при составлении аналитических выражений учитываются нагрузки, расположенные на расчетной схеме с одной стороны от сечения противоположной этой опоре.
Вычисление значений внутренних силовых факторов
Параллельно с записью аналитических выражений вычисляют значение внутренних силовых факторов на границах участков и, если необходимо, в экстремальных точках. Если в аналитическое выражение не входит z - расстояние от границы участка до сечения, то это означает, что во всех сечениях участка, в том числе и на границах, внутренний силовой фактор имеет постоянное значение. Если в аналитическое выражение входит z в первой степени, то это означает, что внутренний силовой фактор на участке изменяется по линейному закону, и его эпюра изображается прямой наклонной линией. Для её построения вычисляют значения внутреннего силового фактора на границах участка при z = 0 и z = длине участка. Если в аналитическое выражение входит z во второй степени, то это означает, что эпюра будет изображаться квадратичной параболой. Такие аналитические выражения получаются для изгибающих моментов на участках, где есть равномерно распределенная нагрузка, перпендикулярная оси бруса. Для построения параболы в большинстве случаев достаточно значений момента на границах участка, т.к. известно, что выпуклость параболы направлена навстречу распределенной нагрузке. В тех случаях, когда внутри участка есть экстремальное значение момента, вычисляют это значение. Признаком наличия экстремума момента на участке является то, что поперечная сила на границах участка имеет разные знаки. Известно, что поперечная сила есть первая производная от изгибающего момента, т.е. ; , поэтому экстремум на эпюре момента будет в том сечении, где поперечная сила равна нулю. Для нахождения экстремума ранее записанное выражение для поперечной силы приравнивают нулю. Из этого условия определяют z , при котором поперечная сила равна нулю, а момент имеет экстремум. Подставляя найденное значение z в аналитическое выражение для момента, находят его экстремальное значение.
Построение эпюр
Эпюры внутренних силовых факторов строят на базовых линиях, повторяющих конфигурацию расчетной схемы. На базовых линиях размечают границы участков. Для пространственных расчетных схем эпюры N и Мк можно строить в произвольных плоскостях, эпюры Qх , Qу , Мх , Му строят только в тех плоскостях, в которых они действует. На границах участков и в экстремальных точках откладывают с учетом знаков вычисленные значения внутренних силовых факторов перпендикулярно базовой линии с соблюдением масштаба. Полученные точки соединяют линиями, соответствующие степени z в аналитическом выражении.
Эпюры штрихуют линиями перпендикулярными базовой линии. На поле эпюр N, Qх , Qу , Мк проставляют знаки. На эпюрахМх , Му, знаки не ставят. На границах участков и в экстремальных точках указывают значения внутренних силовых факторов алгебраическими выражениями или числами без знака. Рядом с эпюрой в кружочке указывается условное обозначение внутреннего силового фактора.
Для пространственных расчетных схем допускается эпюры Qх , Qу строить на одной базовой линии, также как и эпюры Мх , Му, Мк . В этом случае эпюру Мк штрихуют винтовой линией.
Расчётные схемы и относящиеся к ним чертежи (эпюры и т.д.) необходимо размещать по возможности на одной странице.
Проверка построенныхэпюр
Построенные эпюры в обязательном порядке проверяются. Для этого используются характерные признаки, соответствующие конкретному нагружению расчетной схемы.При проверке эпюр поперечных сил и изгибающих моментов ряд признаков вытекает из дифференциальных зависимостей при изгибе.
Правила для проверки эпюр N
1. В том сечении, где приложена сосредоточенная сила, параллельная оси z (оси бруса), на эпюре N будет скачок на величину этойсилыс учетом знака.
2. На участках, где нет распределенной нагрузки, параллельной оси z, эпюра N будет ограничена линией, параллельной базовой (N = const). Если на участке есть равномерно распределенная нагрузка, параллельная оси бруса, то эпюра N на этом участке будет ограничена прямой наклонной линией.
Правила для проверки эпюр Мк
1. В том сечении, где приложен сосредоточенный момент относительно оси z (оси бруса), на эпюре Мк будет скачок на величину этого момента с учётом знака.
2. Если на участке нет распределенного момента относительно оси z , то эпюра Мк , будет ограничена прямой линией, параллельной базовой (Мк = const). Если на участке есть равномерно распределенный момент относительно оси z , то эпюра Мк на этом участке будет ограничена прямой наклонной линией.
Правила для проверки эпюр поперечных сил и изгибающих моментов
Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов проверяются попарно Qх и Му , Qу и Мх . Это обусловлено тем, что они связаны между собой дифферационными зависимостями, из которых и вытекают основные правила для проверки этих эпюр.
1. На границах расчетной схемы Q и М равны приложенным здесь внешним сосредоточенной силе и сосредоточенному моменту соответственно .
2. В сечении, где приложена сосредоточенная сила, перпендикулярная оси бруса, на эпюре Q будет скачок на величину этой силы с учетом её знака, на эпюре Q будет излом остриём навстречу силе.
3. В сечении, где приложен сосредоточенный момент, вызывающий изгиб бруса, на эпюре Q никаких изменений не будет, на эпюре М будет скачок на величину этого момента с учетом его знака. До скачка и после него ветви эпюры М будут параллельны, если в этом же сечении нет сосредоточенной силы, которая вызовет изменение наклона эпюры М.
4. Если на участке нет распределенной нагрузки перпендикулярной оси бруса, то эпюра Q ограничена прямой линией, параллельной базовой, эпюра М - прямой наклонной линией.
Если на участке Q = 0, то М = const и его эпюра ограничена прямой линией, параллельной базовой.
5. Если на участке есть равномерно распределенная нагрузка, перпендикулярная оси бруса, то эпюра Q ограничена прямой наклонной линией, эпюра М - квадратичной параболой. Выпуклость параболы направлена навстречу распределенной нагрузке. Если на границах участка Q. имеет разные знаки, то на эпюре М внутри участка будет экстремум.
6. Если внутри участка есть шарнир, то это никакого влияния на ход эпюр Q и М не оказывает, но на шарнире М = 0.
Дополнительное правило для проверки эпюр в рамах
Каждый узел рамы должен быть в силовом и моментном равновесии.
Для этого составляют уравнения равновесия для узла:
; ; (для плоских рам).
Для пространственных рам:
; ; ; ; ; .
При этом учитываются силы и моменты, подходящие к узлу по сходящимся в нём стержням, величина и направление этих сил определяется по построенным эпюрам, а также внешние силы и моменты, приложенные в узле.
Удобно использовать графическое изображение уравнений равновесия, так, как это показано ниже на примере построения эпюр для плоской рамы (разд. 3.3, рис. 15е, ж).
НАВЧАЛЬНА ПРОГРАМА
дисципліни
«Екологічний менеджмент»
(для бакалаврів)
Київ – 2008
Підготовлено кандидатом економічних наук, доц. Згалат-Лозинською Л.О.
Затверджено на засіданні кафедри медичного та екологічного менеджменту (Протокол № 11 від 17 червня 2008 р.)
Схвалено Вченою радою Міжрегіональної Академії управління персоналом
Згалат-Лозинська Л.О.Навчальна програма дисципліни “Екологічний Менеджмент» (для бакалаврів). – К.: МАУП, 2008. – 26 с.
Навчальна програма містить пояснювальну записку, тематичний план, зміст дисципліни, методичні вказівки до самостійної роботи, вказівки до виконання контрольної роботи, варіанти контрольних робіт, питання для самоконтролю, а також список літератури.
© Міжрегіональна Академія
управління персоналом (МАУП),
Дата добавления: 2014-12-09; просмотров: 1023;